【BZOJ5119】【CTT2017】生成树计数 DP 分治FFT 斯特林数
CTT=清华集训
题目大意
有\(n\)个点，点权为\(a_i\)，你要连接一条边，使该图变成一颗树。
对于一种连边方案\(T\)，设第\(i\)个点的度数为\(d_i\)，那么这棵树的价值为：
\[val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m)
\]
求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\)
\(n\leq 30000,m\leq 30\)
题解
很容易想到prufer序列
先把式子化简：
\[\begin{align}
ans&=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m)\\
&=\sum_{i=1}^nd_i^m(\prod_{j=1}^na_j^{d_j}d_j^m)\\
&=\sum_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^{2m}(\prod_{j=1,j!=i}^na_j^{d_j}d_j^m)\\
\end{align}
\]
就是得到排列后选一个数\(i\)，把贡献乘上\(d_i^m\)
考虑最简单的做法，记\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数，占了\(j\)个空，没有额外的选择一个数的贡献，\(g_{i,j}\)就是选了一个数。
很容易得到DP式。这个DP是\(O(n^3)\)的，可以用FFT优化到\(O(n^2\log n)\)
注意到\(m\)很小，还记得那个乘方转组合数和斯特林数的套路吗？
先在prufer数列后面补上\(1\)~\(n\)，这样写了数字\(i\)的格子个数就是\(d_i\)
\(d_i^m\)就是用\(m\)种颜色染\(d_i\)个格子，每种颜色只能染一个格子，每个格子可以染多种颜色的方案数。
因为染了颜色的格子很少，所以枚举写了数字\(i\)的格子中染了颜色的格子数量\(k\)，如果染色的格子全在前面，方案数就是\(\binom{n-2-j}{k}\times S(m,k)\times k!\)，贡献就是\(a_i^{k+1}\)。后面有就是\(\binom{n-2-j}{k}\times S(m,k+1)\times (k+1)!\)
额外选一个数就把\(m\)改成\(2m\)
\(f_{i,j},g_{i,j}\)的意义和以前类似，只不过改成了染色的格子个数是\(j\)。
最后枚举染色的格子个数\(i\)，没染色的格子可以随便填数，要乘上\({(\sum_{i=1}^na_i)}^{n-2-i}\)
时间复杂度：\(O(n^2m)\)
把组合数什么的全部拆开后就能得到一个比较漂亮的式子（其中\(F,G,A,B\)都是多项式）：
\[\begin{align}
F_i&=F_{i-1}A\\
G_i&=G_{i-1}A+F_{i-1}B
\end{align}
\]
可以用分治FFT优化。
时间复杂度：\(O(nm\log^2 n)\)
代码
暴力
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
const ll p=998244353;
ll h[62][62];
ll f[2][60010];
ll g[2][60010];
ll a[30010];
ll d[30010][62];
ll fac[30010];
ll ifac[30010];
ll inv[30010];
void add(ll &a,ll b)
{
a=(a+b)%p;
}
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
ll getc(int x,int y)
{
if(x<y)
return 0;
return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
ll s1[60010][62];
ll s2[60010][62];
ll s3[60010][62];
ll s4[60010][62];
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a2.out","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
h[0][0]=1;
int i,j,k;
fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for(i=2;i<=2*m||i<=n;i++)
{
inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
fac[i]=fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
for(i=1;i<=2*m;i++)
for(j=1;j<=2*m;j++)
h[i][j]=(h[i-1][j-1]+h[i-1][j]*j)%p;
for(i=0;i<=2*m;i++)
for(j=0;j<=2*m;j++)
h[i][j]=h[i][j]*fac[j]%p;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
d[i][0]=1;
for(j=1;j<=2*m;j++)
d[i][j]=d[i][j-1]*a[i]%p;
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=0;j<=2*m;j++)
{
s1[i][j]=ifac[j]*d[i][j]%p*((h[m][j]+h[m][j+1])%p)%p;
s2[i][j]=ifac[j]*d[i][j]%p*((h[2*m][j]+h[2*m][j+1])%p)%p;
}
f[0][0]=1;
int t=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
t^=1;
memset(f[t],0,sizeof f[t]);
memset(g[t],0,sizeof g[t]);
for(j=0;j<=n-2;j++)
{
for(k=0;k<=m&&k<=n-2-j;k++)
{
add(f[t][j+k],f[t^1][j]*s1[i+1][k]);
add(g[t][j+k],g[t^1][j]*s1[i+1][k]);
}
for(k=0;k<=2*m&&k<=n-2-j;k++)
add(g[t][j+k],f[t^1][j]*s2[i+1][k]);
}
}
ll ans=0,s=0;
for(i=1;i<=n;i++)
s=(s+a[i])%p;
for(i=0;i<=n-2;i++)
ans=(ans+g[t][i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
for(i=1;i<=n;i++)
ans=ans*a[i]%p;
ans=ans*fac[n-2]%p;
ans=(ans+p)%p;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
正解
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
if(a>b)
swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];
sprintf(str,"%s.in",s);
freopen(str,"r",stdin);
sprintf(str,"%s.out",s);
freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
int s=0,c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9');
do
{
s=s*10+c-'0';
}
while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
if(b<a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
if(b>a)
{
a=b;
return 1;
}
return 0;
}
const int p=998244353;
int fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)
if(b&1)
s=1ll*s*a%p;
return s;
}
namespace ntt
{
const int g=3;
int w1[150000];
int w2[150000];
int rev[150000];
int n;
void init(int m)
{
n=m;
int i;
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
w2[i]=fp(w1[i],p-2);
}
rev[0]=0;
for(i=1;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
}
void ntt(int *a,int t)
{
int u,v,w,wn;
int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++)
if(rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for(i=2;i<=n;i<<=1)
{
wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
for(j=0;j<n;j+=i)
{
w=1;
for(k=j;k<j+i/2;k++)
{
u=a[k];
v=1ll*a[k+i/2]*w%p;
a[k]=(u+v)%p;
a[k+i/2]=(u-v)%p;
w=1ll*w*wn%p;
}
}
}
if(t==-1)
{
int inv=fp(n,p-2);
for(i=0;i<n;i++)
a[i]=1ll*a[i]*inv%p;
}
}
void copy(int *a,const vector<int> &b,int len)
{
int i;
for(i=0;i<=len;i++)
a[i]=b[i];
for(i=len+1;i<n;i++)
a[i]=0;
}
vector<int> back(int *a,int len)
{
vector<int> s;
int i;
for(i=0;i<=len;i++)
s.push_back(a[i]);
return s;
}
}
int n,m;
int h[62][62];
int f[2][60010];
int g[2][60010];
int a[30010];
int d[30010][62];
int fac[30010];
int ifac[30010];
int inv[30010];
void add(int &a,int b)
{
a=(a+b)%p;
}
int s1[60010][62];
int s2[60010][62];
auto gao(vector<int> &a,vector<int> &b,vector<int> &c,vector<int> &d)
{
static int a1[150000],a2[150000],a3[150000],a4[150000],s1[150000],s2[150000];
int len=1;
int n1=a.size()-1;
int n2=b.size()-1;
int n3=c.size()-1;
int n4=d.size()-1;
while(len<=2*n2||len<=2*n4)
len<<=1;
ntt::init(len);
ntt::copy(a1,a,n1);
ntt::copy(a2,b,n2);
ntt::copy(a3,c,n3);
ntt::copy(a4,d,n4);
ntt::ntt(a1,1);
ntt::ntt(a2,1);
ntt::ntt(a3,1);
ntt::ntt(a4,1);
int i;
for(i=0;i<len;i++)
{
s1[i]=1ll*a1[i]*a3[i]%p;
s2[i]=(1ll*a1[i]*a4[i]+1ll*a2[i]*a3[i])%p;
}
ntt::ntt(s1,-1);
ntt::ntt(s2,-1);
return make_pair(ntt::back(s1,min(n-2,n1+n3)),ntt::back(s2,min(n-2,max(n1+n4,n2+n3))));
}
auto solve(int l,int r)
{
if(l==r)
{
vector<int> a(m+1),b(2*m+1);
int i;
for(i=0;i<=2*m;i++)
{
if(i<=m)
a[i]=s1[l][i];
b[i]=s2[l][i];
}
return make_pair(a,b);
}
int mid=(l+r)>>1;
auto L=solve(l,mid);
auto R=solve(mid+1,r);
return gao(L.first,L.second,R.first,R.second);
}
int main()
{
open("a");
scanf("%d%d",&n,&m);
h[0][0]=1;
int i,j,k;
fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
for(i=2;i<=2*m||i<=n;i++)
{
inv[i]=1ll*-p/i*inv[p%i]%p;
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%p;
}
for(i=1;i<=2*m;i++)
for(j=1;j<=2*m;j++)
h[i][j]=(h[i-1][j-1]+1ll*h[i-1][j]*j)%p;
for(i=0;i<=2*m;i++)
for(j=0;j<=2*m;j++)
h[i][j]=1ll*h[i][j]*fac[j]%p;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
d[i][0]=1;
for(j=1;j<=2*m;j++)
d[i][j]=1ll*d[i][j-1]*a[i]%p;
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=0;j<=2*m;j++)
{
s1[i][j]=1ll*ifac[j]*d[i][j]%p*((1ll*h[m][j]+h[m][j+1])%p)%p;
s2[i][j]=1ll*ifac[j]*d[i][j]%p*((1ll*h[2*m][j]+h[2*m][j+1])%p)%p;
}
// f[0][0]=1;
int t=0;
// for(i=0;i<n;i++)
// {
// t^=1;
// memset(f[t],0,sizeof f[t]);
// memset(g[t],0,sizeof g[t]);
// for(j=0;j<=n-2;j++)
// {
// for(k=0;k<=m;k++)
// {
// add(f[t][j+k],f[t^1][j]*s1[i+1][k]);
// add(g[t][j+k],g[t^1][j]*s1[i+1][k]);
// }
// for(k=0;k<=2*m;k++)
// add(g[t][j+k],f[t^1][j]*s2[i+1][k]);
// }
// }
auto dp=solve(1,n);
int ans=0,s=0;
for(i=1;i<=n;i++)
s=(s+a[i])%p;
for(i=0;i<=n-2;i++)
// ans=(ans+g[t][i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
ans=(ans+1ll*dp.second[i]*ifac[n-2-i]%p*fp(s,n-2-i))%p;
for(i=1;i<=n;i++)
ans=1ll*ans*a[i]%p;
ans=1ll*ans*fac[n-2]%p;
ans=(ans+p)%p;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
