【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能(编程题12~16)
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《【好书推荐】《剑指Offer》之硬技能(编程题7~11)》
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12.矩阵中的路径
*回溯法:适合由多个步骤组成的问题,并且每个步骤有多个选项。
1 /** 2 * 矩阵中是否存在给定路径 3 * @author OKevin 4 * @date 2019/6/4 5 **/ 6 public class Solution { 7 8 /** 9 * 10 * @param matrix 一位数组表示矩阵 11 * @param rows 行数 12 * @param cols 列数 13 * @param path 路径 14 * @return true-存在;false-不存在 15 */ 16 public boolean findPath(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, char[] path) { 17 if (matrix == null || rows <= 0 || cols <= 0 || path == null) { 18 return false; 19 } 20 boolean[] visited = new boolean[rows * cols]; 21 int pathLength = 0; 22 for (int row = 0; row < rows; row++) { 23 for (int col = 0; col < cols; col++) { 24 if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col, path, pathLength, visited)) { 25 return true; 26 } 27 } 28 } 29 return false; 30 } 31 32 private boolean findPathCore(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, int row, int col, char[] path, int pathLength, boolean[] visited) { 33 if (pathLength == path.length) { 34 return true; 35 } 36 if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && matrix[row * cols + col] == path[pathLength] && !visited[row * cols + col]) { 37 visited[row * cols + col] = true; 38 pathLength++; 39 if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col - 1, path, pathLength, visited) 40 || findPathCore(matrix, rows, cols, row - 1, col, path, pathLength, visited) 41 || findPathCore(matrix, rows, cols, row, col + 1, path, pathLength, visited) 42 || findPathCore(matrix, rows, cols, row + 1, col, path, pathLength, visited)) { 43 return true; 44 } 45 visited[row * cols + col] = false; 46 47 } 48 return false; 49 } 50 }
13.机器人的运动范围
此题有一个小的点需要靠平时的积累,数位和的计算。
1 /** 2 * 计算数位和 3 * 例如:85的数位和为8+5=13 4 * 计算过程: 5 * 85 % 10 = 5(个位) 6 * 85 / 10 = 8(移除个位) 7 * 8 % 10 = 8(十位) 8 * 5 + 8 = 13 9 * @param number 数字 10 * @return 数位和 11 */ 12 private int getDigitSum(int number) { 13 int sum = 0; 14 while (number > 0) { 15 sum += number % 10; 16 number /= 10; 17 } 18 return sum; 19 }
另外还需要注意几个临界条件:
-
访问的行和列一定是大于等于0;
-
访问的行和列一定是小于总行数和总列数(并不是小于等于,因为是从第0行开始)
-
行和列的数位和小于阈值
-
没有被访问过
row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) < threshold) && !visited[row * cols + col]
题目中看似提到了m行n列,立马想到了用二维数字来表示。实际上如果用二维数组是增加了复杂性,用一维数组同样能表示出二维数组。例如:m行n列就一共又m*n个元素,visited[m*n]。访问第1行第1列,在一维数组中则为visited[1*m+1],访问第1行第2列则为visited[1*m+2],也就是在一位数组中,数据是按照一列一列存放的。如果要访问第2行是2*cols+第几列。
另外既然需要求出达到多少个格子,则是需要访问格子周围即:(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)。
1 /** 2 * Description: 3 * 机器人的运动范围 4 * 2019-06-18 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution { 8 public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) { 9 if (threshold < 0 || rows <= 0 || cols <= 0) { 10 return 0; 11 } 12 boolean[] visited = new boolean[rows * cols]; 13 int count = movingCountCore(threshold, rows, cols, 0, 0, visited); 14 return count; 15 } 16 17 private int movingCountCore(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) { 18 int count = 0; 19 if (check(threshold, rows, cols, row, col, visited)) { 20 visited[row * cols + col] = true; 21 /** 22 * 当前访问到了(i, j)坐标,此时则继续访问(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1) 23 */ 24 count = 1 + movingCountCore(threshold, rows, cols, row - 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row, col-1, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited); 25 } 26 return count; 27 } 28 29 private boolean check(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) { 30 //横坐标与纵坐标的数位和相加小于阈值,且没有访问过 31 if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) <= threshold) && !visited[row * cols + col]) { 32 return true; 33 } 34 return false; 35 } 36 37 /** 38 * 计算数位和 39 * 例如:85的数位和为8+5=13 40 * 计算过程: 41 * 85 % 10 = 5(个位) 42 * 85 / 10 = 8(移除个位) 43 * 8 % 10 = 8(十位) 44 * 5 + 8 = 13 45 * @param number 数字 46 * @return 数位和 47 */ 48 private int getDigitSum(int number) { 49 int sum = 0; 50 while (number > 0) { 51 sum += number % 10; 52 number /= 10; 53 } 54 55 return sum; 56 } 57 }
14.剪绳子
这道题是求解最优化问题。理论上讲,在题目中出现最大、最小、一共有多少种解法都可以用动态规划求解。
解法一:动态规划
拿到这道题,习惯性的可能会先从由上往下的解题思路去想,比如:长度为9,可以分为几段:1,1,7;1,2,6等等。会去思考这个长度会分成几个段,再将每个段的乘积求出来,取最大的那个段。
但实际上,对于求解最优化问题,可以转换为一系列子问题。对于本题一段绳子来讲,它无论如何都至少被切为2段。例如长度为8时,可能被切为:1,7;2,6;3,5;4,4。当然还有5,3,这实际上又和前面重复了,所以一段绳子如果被切为2段,就只有n/2种可能性。
切为2段并不是最终的最大乘积长度,例如8切为了以上4种可能性的两段,并不意味着8的切成m段的最大乘积长度为15(3*5)。它当然还能切为2*3*3=18。那为什么说只需要切为2段呢?
这是因为我们需要把这个问题不断地划分为小的问题。
例如8被切为了1和7,这两段不能再继续切分,它就是最小的问题;同理,8被切为了2和6,但是6仍然可以继续被切为1和5,2和4,3和3,所以2和6并不是最小的问题,以此类推,最终推出长度为6的绳子切成m段的最大乘积是9(3*3),那么8被切为2和6时,2*9就等于18。同理继续推3和5,4和4。
上面的分析得出了什么样的结论呢?结论就是,只需要想象成2段,再各自继续切2段。也就是说假设长度为n的绳子,f(n)是它的各段最大乘积长度,它在被切第一刀时,第一段长度为(1,2,...n-1),第二段的长度为(n-1,n-2,...,1)。推出f(n)=max(f(i)*f(n-1))的关联关系。这里一定需要好好理解,切成2段后,并不是直接将两段相乘,而是再继续将各段切分直至不能再切且取最大乘积长度。
在《算法笔记》(***瑞 谢妍著)一书中对动态规划做了求解步骤的总结:
-
定义子问题
-
定义状态转换规则,即递推关系
-
定义初始状态
套用到这套题上,我认为就是需要明确以下3点:
-
该问题的核心在于求出每段的最大乘积长度,这是子问题,也就是上文所述,再被切为两段时,需要明确是否能继续切直至不能再切且取最大乘积长度。
-
递推关系,也已明确(n)=max(f(i)*f(n-1))
-
初始状态,长度为1不能切,长度为2最长为1,长度为3最长为2。
1 /** 2 * Description: 3 * 剪绳子——动态规划 4 * 2019-06-19 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution1 { 8 9 public int maxProductAfterCutting(int length) { 10 if (length < 2) { 11 return 0; 12 } 13 if (length == 2) { 14 return 1; 15 } 16 if (length == 3) { 17 return 2; 18 } 19 int[] products = new int[length + 1]; //数组中存储的是每段的最优解 20 //大于长度3的绳子,当然可以划分出1,2,3长度的绳子 21 products[0] = 0; 22 products[1] = 1; 23 products[2] = 2; 24 products[3] = 3; 25 int max = 0; 26 for (int i = 4; i <= length; i++) { 27 max = 0; 28 for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { //除以2的原因在上文中也以提到,将一段绳子划分为2段时,实际上中间后的切分和前面是重复的 29 int product = products[j] * products[i - j]; //递推关系f(i)*f(n-1) 30 if (max < product) { 31 max = product; 32 } 33 products[i] = max; 34 } 35 } 36 max = products[length]; 37 return max; 38 } 39 }
优点:动态规划类似于分治算法,将大的问题逐步划分为小的问题求解。
缺点:此题采用动态规划的时间复杂度为O(n^2),且空间复杂度为O(n)
解法二:贪婪算法
贪婪算法的核心是,先挑最大的,再挑比较大的,再挑小的(贪婪嘛)。
本题对于长度为n(n>=5)的绳子应尽量多划分为长度3的段。对于长度为4的段,应划分为长度为2的段。
也即是,如果长度为10,那么10/3=3个长度为3的段,划分结果为3*3*3*1,最后一个段为1,划分为3*3*4。
1 /** 2 * Description: 3 * 剪绳子——贪婪算法 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution2 { 8 public int maxProductAfterCutting(int length) { 9 if (length < 2) { 10 return 0; 11 } 12 if (length == 2) { 13 return 1; 14 } 15 if (length == 3) { 16 return 2; 17 } 18 int timesOf3 = length / 3; 19 if (length - timesOf3 * 3 == 1) { 20 timesOf3 -= 1; 21 } 22 int timesOf2 = (length - timesOf3*3) / 2; 23 return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2)); 24 } 25 }
15.二进制中1的个数
此题可采用移位运算+与运算求解
1 /** 2 * Description: 3 * 移位运算+与运算 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution { 8 public int NumberOf1(int num) { 9 int count = 0; 10 while (num != 0) { 11 if ((num & 1) == 1) { 12 count++; 13 } 14 num = num >>> 1; //因为运算>>>表示无符号右移,意味着如果是负数,仍然会向右移,同时用0补齐。如果使用>>有符号右移,那么符号位1永远会存在,也就是会产生死循环 15 } 16 return count; 17 } 18 }
16.数值的整数次方
循环暴力法
1 /** 2 * Description: 3 * 循环暴力法 4 * 2019-06-20 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution1 { 8 public int pow(int m, int n) { 9 int result = 1; 10 for (int i = 0; i < n; i++) { 11 result *= m; 12 } 13 return result; 14 } 15 }
很遗憾,这种解法连校招级都算不上,顶多算是刚学习编程时的水平。
其实这道题,并没有考查过多的算法,更多的是考查对细节的把握。一个数的整数次方,不光是整数,还有可能是负数,也有可能是0。如果数值为0,则0的幂是没有意义的。
1 /** 2 * Description: 3 * 考虑指数为0,负数,整数;数值为0的情况;0^0在数学上没有意义 4 * 2019-06-21 5 * Created with OKevin. 6 */ 7 public class Solution2 { 8 9 public double pow(int m, int n) { 10 double result = 0; 11 if (m == 0 && n < 0) { 12 return -1; 13 } 14 int absN = Math.abs(n); //取绝对值 15 result = calc(m, absN); 16 if (n < 0) { 17 result = 1 / result; 18 } 19 return result; 20 } 21 22 private int calc(int m, int n) { 23 int result = 1; 24 for (int i = 0; i < n; i++) { 25 result *= m; 26 } 27 return result; 28 } 29 }
改进后的代码考虑到了指数是负数的情况。但实际上这仍然有优化的空间。如果指数是32,意味着calc方法需要循环31次。然而实际上循环到一半的时候就可以求它本身。也就是说a^n/2 * a^n/2,n为偶数;a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 * a,n为奇数。
改进后的calc方法:
1 private int calc(int m, int n) { 2 if (n == 0) { 3 return 1; 4 } 5 if (n == 1) { 6 return m; 7 } 8 int result = calc(m, n >> 1); //右移1位表示除以2 9 result *= result; 10 if ((m & 1) == 1) { //位运算判断是会否为奇数,奇数的二进制第一位一定是1与1做与运算即可判断是否为奇数,代替m%2是否等于0 11 result *= m; 12 } 13 return result; 14 }
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