pick定理及其证明

题目：Triangle

pick定理：在一个平面直角坐标系内，以整点为顶点的简单多边形（任两边不交叉），它内部整点数为a，它的边上（包括顶点）的整点数为b，则它的面积S = a+b/2-1

 

先看最简单的三角形，如果只有三个顶点在格点上，边上（不包括顶点）与内部均没有其它整点

那么根据pick定理S=3/2-1=1/2

以下证明凡面积大于1/2的三角形在边上或者在内部有其它整点

证：首先可以通过平移和轴对称将三角形的一个顶点移至原点，另两个位于x轴或第一象限中

设三角形为OAB，O(0,0),A(a,c),B(b,d)并不纺设d/b>c/a,它的面积为n/2(n为整数，因为S=(ad-bc)/2）

若c=0,a>1,则OA边上有其它整点，命题得证

若c=0,a=1,b=1，那么由于面积大于1/2，d>1，则AB边上有其它整点，命题得证

若c=0,a=1,b>1，则将B移至原点并旋转180度，归为另两点均位于第一象限的情况

 

O(0,0),A(a,c),B(b,d),abcd均为正整数，ad-bc=n>1

若a,c不互质，则命题得证，以下讨论a,c与b,d均互质的情况

（上一篇里的链接有用pick定理证明farey序列性质的问题，这里也用上篇证明farey序列的方法类似证明这个结论）

取n的一个质因数p

存在正整数k<p，使(ka+b)/p,(kc+d)/p均为正整数

则[(ka+b)/p,(kc+d)/p]即为所求的其他整点

因为(ka+b)/p=[(ka+b)/(k+1)]*[(k+1)/p]

(kc+d)/p=[(kc+d)/(k+1)]*[(k+1)/p]

因为(k+1)≤p

所以这个整点在AB的某个k+1等分点与O的连线线段上，命题得证

 

所以对于边上或内部无其他整点的最简单三角形，它的面积只能为1/2，pick定理成立

 

对于其它三角形，用第二数学归纳法

(1)2i+b-2=2的情况成立

(2)假设对2i+b-2<n的情况成立

则当2i+b-2=n，若三角形内部有整点，则将此点与三角形三顶点相连形成三个新的三角形

设有k个内点落在了新形成的三条边上

三个三角形的总内点为i-k，边上的数(同时属于多个三角形的点重复计算）为(b-3)+2*(k+2)+1*3=b+2k+4

所以2S=2S1+2S2+2S3=(2i1+b1-2)+(2i2+b2-2)+(2i3+b3-2)=2(i-k)+(b+2k+4)-6=2i+b-2成立

若无内点，则将某边上的整点与相对的顶点相连得到两个三角形

证明方法同上.......

 

所以对于三角形，pick定理成立

 

对于任意简单多边形，我们可以把它分成若干三角形

当连接多边形的某一对角线将它分为两个多边形的时候

对角线外的其他点计数保持不变，对角线内的点由于同时被计算两次，也就是2△i=△b

而端点的两点分别被多算了1，总共多算2，由此补足了分成两个图形而多减的2

 

所以将多边形分成若干三角形以后，值不变

所以对任意简单多边形，pick定理均成立