Nash 嵌入定理

流形的度量改变意味着什么？ 1.首先来看最简单的例子： $S^2:$ 将球面嵌入到 $\mathbb{R}^3$里面， 半径是 $r$, 我们取标准球面坐标 $(\theta,\phi)$, 球面的度量是 $ds^2=r^2（d\theta^2+sin\theta d\phi^2）$ ,改变度量 ，比如说 $r\to 0$, 形状会缩小， 最终坍缩成为一个点。 2. 反之，任何一个黎曼流形 $(M,g)$ 都能等距嵌入到一个 $\mathbb{R}^n$ 里面，这就是 Nash 嵌入定理。 _____________________________________________________________________________________________ Nash–Kuiper theorem ($C^1$embedding theorem) Let $(M,g)$ be a Riemannian manifold and$ f: M^m \to \mathbb{R}^n$ a short $C^{\infty}$ -embedding (or immersion) into Euclidean space $\mathbb{R}^n$ , where $n ≥ m+1$. Then for arbitrary $\epsilon >0$ there is an embedding (or immersion) $: f_\epsilon: M^m \to \mathbb{R}^n $which is - (1)in class $C^1$ - (2) isometric: $$ \displaystyle g(u,v)= \langle df_\epsilon(u), df_\epsilon(v) \rangle, \forall u,v \in T_x M $$