[JSOI2016]病毒感染[dp]
题意
有 \(n\) 个村庄按标号排列，每个村庄有一个死亡速度 \(a_i\) 表示每天死 \(a_i\) 人(除非你治好这个村庄)。
你从 1 号村庄出发，每天可以选择向相邻的村庄进发或者治愈所在的村庄。
如果在这个过程中你的左边有未治愈的村庄，同时你向左走了一步，那么你需要把这些村庄全部治愈后才能接着自由行动。
求所有村庄都被治愈时最少的死亡人数。
\(n\le3000,a_i\le 10^9\)
分析
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容易发现整个过程一定是往回走了若干段不重叠的部分，所以可以分成若干段子问题处理。
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记录 \(a\) 的前缀和为 \(s\) 。定义状态 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个村庄已经治愈，当前在 \(i\) 的最小代价。枚举返回位置 \(j\) ，容易得到:
\[f_i=\min\limits_{j<i}\{f_j+[j\ne 0](s_n-s_j)+g_{j+1,i}+[i\ne n](i-j-1)(s_n-s_i)\} \]其中 \(g_{j,i}\) 表示从 \(j\) 走到 \(i\) ，然后走回 \(j\) 的最小代价。
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枚举 \(j\) 是否在返回前治愈可以得到：
\[g_{j,i}=g_{j+1,i}+\min\begin{cases}3a_j(i-j)+(s_n-s_j)+2(s_n-s_i)\\2(s_n-s_j)+(s_n-s_i)\end{cases} \]其中 \(g_{i,i}=(s_n-s_i)\) 。
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容易证明这样的 \(f\) 转移不会错过最优解。
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实际上整个问题可以看成以 \(g_{i,j}\) （一个区间dp）为转移代价的辅助dp
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时间复杂度 \(O(n^2)\)
