【NOIP训练】【数论】超级计算机

题目描述
有以下几个问题：
1 给定正整数  求方程  的最小非负整数解。
2 给定正整数 求方程 的最小非负整数解。
3 给定正整数 求方程  在模  意义下解的数量。
4 给定正整数 求   的值。其中  是欧拉函数， 是莫比乌斯函数。
输入格式
输入文件共四行，按上述描述中四个问题的顺序，给出每个问题。
第一行三个正整数   表示第一个问题，保证 。
第二行三个正整数 表示第二个问题，保证  。
第三行三个正整数  表示第三个问题，保证  为质数且  。
第四行三个正整数 表示第四个问题。
输出格式
共四行每行一个整数，分别表示四个问题的答案。对于前两个问题，若问题无解则输出-1。对于第三个问题你只需输出解的数量。
样例数据
super.in
3 6 8
9 10 12
4 4 7
5 4 20

super.out
2
-1
2
4
数据范围
20% 的数据：
60% 的数据：
100% 的数据：
评分方式
对于每个测试点:
• 第一个问题正确得 2 分。
• 第二个问题正确得 3 分。
• 第三个问题正确得 3 分。

 

题解

第一问：将式子化成  , 拓展欧几里得即可。

第二问： BSGS大步小步算法解高次同余方程。

详情请见TonyFang博客：http://tonyfang.is-programmer.com/posts/178997.html

第三问：求出  的一个原根 ，可以求出 ，并设 , 则由费马小定理可知，解该方程等价于解  所以实际上它是前两个问题的组合应用。

第四问：Pollard Rho算法和Millar Rabin算法的应用。