地图投影简明笔记

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地图投影，是将地球表面投影到地图平面的过程，将地理坐标转换为平面直角坐标的过程。因为毕业论文需要，我重新回顾了一下地图投影的知识并且作了比较全面且简洁的总结。如果你之前未系统了解过地图投影，又对地图投影感兴趣，这篇博文也许能成为一篇简洁务实的阅读材料。

还有，这篇文章就不考虑大地基准面了，直接把地球当做一个完美的球体来看待。还有，本篇只介绍最基本的三种投影，方位、圆柱、圆锥投影，更多的投影基本是在这三种投影的基础上派生出来的，在了解这三种投影的基础上，去学习和实现其他的派生投影，会比较轻松。

首先看三种最基本的投影系列，方位投影、圆柱投影和圆锥投影。每种投影都按照等面积，等距离，等角和正轴，横轴，斜轴或者其他的性质分成小类。下图显示了方位投影，圆锥投影和圆柱投影的基本样式。

介绍三种投影时，我**只涉及正轴投影**。横轴与斜轴投影转正轴的方法，会在三种投影结束后介绍。

方位投影

方位投影将球面坐标（经度，纬度）投影到极坐标（半径，方向）上，而且满足球面经度等于极坐标中的方向。其最基本的形式为：

$$\begin{matrix}\rho = f(\psi )\ \delta =\lambda \end{matrix}$$

等式左侧的ρ和δ为投影后的极坐标，右侧的φ和λ为纬度和经度，函数f的形式与形变性质有关。

将极坐标转换为直角坐标很简单：

$$\begin{matrix}x=\rho\cos\delta\ y=\rho\sin\delta\end{matrix}$$

另外，还有一些约定，比如R表示地球半径，他基本会出现在投影公式中（不用担心地图和地球一样大，我们还有比例尺）。还有，d(式子)表示微元，还有西经和南纬都用负值表示，这样纬度区间为[-π/2,π/2]，经度区间为[-π,π]。

方位投影中的切投影或割投影区别只在一个比例尺，所以都作为切投影来处理。

在确定函数f之前，首先要求算两个参数，就是经线上的长度比m，和纬线上的长度比n。（长度比就是投影后的长度比投影前的长度）。

$$\begin{matrix}m=\frac{d\rho}{R\cdot d(\pi/2-\delta)}\ n=\frac{\rho d\delta}{R\sin(\pi/2-\delta)\cdot d \lambda}\end{matrix}$$

等面积方位投影

等面积的条件是：

$$m\cdot n=1$$

$$\rho d\rho=R^2\sin(\pi/2-\psi)d(\pi/2-\psi)$$

积分：

$$\int\rho d\rho=R^2\int \sin(\pi/2-\psi)d(\pi/2-\psi)$$

得

$$\rho=C-R^2\cos(\pi/2-\psi)$$

C为积分常数，配合边界条件，φ=π/2时ρ=0（如果想投影南极，那就φ=-π/2时ρ=0），求得：

$$\rho=2R\sin\frac{\pi/2-\psi}{2}$$

这就是等面积方位投影的函数f。

等距离方位投影

注意这里等距离只是指经线上等距离。如果想纬线上等距离，那只能显示北半球，南半球的纬线圈肯定比赤道小，但是如果用方位投影，南半球的纬圈在外侧，不可能比赤道小。在北半球，经线上等距离和纬线上等距离不可能同时达到，两者都可以独立地导出互相矛盾的函数f。

等距离的条件是：

$$m=1$$

可导出：

$$\rho=R(\pi/2-\psi)$$

这就是等距离方位投影的函数f。

等角方位投影

等角的条件是：

$$m=n$$

可导出

$$\rho=2R\tan\frac{\pi/2-\psi}{2}$$

这就是等角方位投影的函数f。

一般情况：透视投影

上述只是一些有着特殊性质的方位投影，事实上，在南北极轴上（也就是垂直于投影面的轴）任意取一个点O，利用透视的方法，将球上每一个点P投影到OP与投影面交点上，都是一个方位投影。比如，等角方位投影就是点O在南极点的投影。

点O在无限远时的方位投影，即正射投影，可用来模拟显示三维地球，其公式为：

$$\rho=R\cos(\psi)$$

点O在地球球心时的投影，即球心投影，其公式为：

$$\rho=R\cot(\psi)$$

使用极轴上的点O进行投影，并不是方位投影的定义。任何符合条件（f(0)=0且在区间0~x之间单调递增）的函数f，就会有一个方位投影与之对应。

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圆柱投影

正轴圆柱投影将球面投影到二维直角坐标上，而且满足投影后经线与y轴平行，纬线与x轴平行。最基本的形式为：

$$\begin{matrix}y = f(\psi )\ x =c\lambda \end{matrix}$$

经线和纬线方向的长度比m和n分别为：

$$\begin{matrix}m=\frac{dy}{Rd\psi}\ n=\frac{dx}{R\cos{\psi}d\lambda}=\frac{c}{Rcos{\psi}}\end{matrix}$$

还是根据等角，等面积和等距离的条件，积分求算不同条件的投影公式。

等角圆柱投影：

$$y=c\ln \tan(\pi/4+\psi/2)$$

该投影又称墨卡托投影，由于其等角特性，在航海图中应用十分广泛。墨卡托投影也是诸多瓦片式Web地图使用的投影，比如Google地图。该投影无法显示极点附近区域，因为在纬度为-π/2或π/2附近时，y趋向负无穷或正无穷。

等面积圆柱投影：

$$y=R\sin\psi$$

$$c=R$$

等距离圆柱投影（也是指经线上等距离）：

$$y=R\psi$$

$$c=R$$

更加一般的表述是，在赤道面上任取一点O，点O将一条经线由球面上，投影到经线所在的子午面与投影圆柱面的交线上。让O点在赤道面上围绕地心旋转2π，就可以将整个地球投影到圆柱面上了。

球面透视切投影，所谓球面透视，就是点O与球心的距离为地球的半径：

$$y=2R\tan\frac{\psi}{2}$$

$$c=R$$

球面透视割投影（ψk和-ψk纬线割，如果ψk=π/4，就是高尔投影）：

$$y=R(1+\cos{\psi_k})\tan\frac{\psi}{2}$$

$$c=R\cos{\psi_k}$$

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圆锥投影

圆锥投影的一般形式（极坐标），其中σ为圆锥常数，即圆锥展开后的扇形角度比上2π：

$$\begin{matrix}\rho = f(\psi )\ \delta =\sigma\lambda \end{matrix}$$

经线长度比m和纬线长度比n为

$$\begin{matrix}m = -\frac{d\rho}{Rd\psi}\ \frac{\sigma\rho}{R\cos\psi} \end{matrix}$$

等角圆锥投影：

$$\rho=\frac{K}{\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}$$

K和σ依赖于投影更具体的性质：

单标准纬线ψ0的等角圆锥投影（即纬度ψ0处的纬线长度比为1），圆锥面切于这条纬线：

$$K=\frac{R\cos{\psi_0}\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}{\sigma}$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

双标准纬线等角切投影（即纬度ψ1和ψ2处长度无变形），圆锥面割于这两条纬线：

$$K=\frac{R\cos{\psi_1}\tan^\sigma(\pi/4+\psi/2)}{\sigma}$$

$$\sigma=\frac{\lg (R\cos{\psi_1})-\lg(R\cos{\psi_2})}{\lg(\tan{\pi/4+\psi_2/2})-\lg(\tan{\pi/4+\psi_1/2})}$$

等面积圆锥投影

$$\rho=(\frac{2R^2}{\sigma}(K-\sin\psi))^{\frac{1}{2}}$$

切圆锥投影，切于ψ0：

$$K=\frac{1}{2}(\csc{\psi_0}+\sin{\psi_0})$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

割圆锥投影，割于ψ1和ψ2：

$$K=\frac{\sin{\psi_1}\cos^2{\psi_2}-\sin{\psi_2}\cos^2{\psi_2}}{\cos^2{\psi_2}-\cos^2{\psi_1}}$$

$$\sigma=\frac{\cos^2{\psi_2}-\cos^2{\psi_1}}{2(\sin{\psi_1}-\sin{\psi_2})}$$

等距离圆锥投影

$$\rho=K-R\rho$$

切圆锥投影，切于ψ0：

$$K=R\cot{\psi_0}+R\psi_0$$

$$\sigma=\sin{\psi_0}$$

割圆锥投影，割于ψ1和ψ2：

$$K=\frac{R\cos{\psi_1}}{\sigma}+R\psi_1$$

$$\sigma=\frac{\cos{\psi_2}-\cos{\psi_1}}{\psi_1-\psi_2}$$

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正轴坐标转横轴，斜轴坐标

以方位投影为例，南北极轴是与投影面垂直。如果让任意一个轴与投影面垂直，那么就可以得到横轴或斜轴投影。那么，就只需要将点K的地理坐标(λ,ψ)转换为新极点Q(λ0,ψ0)下的球面极坐标(a,Z)，然后按照正轴投影处理就可以了，如图所示，点P为北极点。

根据边QK的余弦定理可导出：

$$\cos Z=\sin\psi\sin{\psi_0}+\cos\psi\cos{\psi_0}\cos(\lambda - \lambda_0)$$

由于Z在0~π区间内，所以可以直接求出Z。

以QP作为换算后球面极坐标系下的“本初子午线”，求α：

根据边正弦和邻角余弦之积的定理，有：

$$\sin Z\cos \alpha = \sin\psi\cos{\psi_0}-\cos\psi\sin{\psi_0}\cos(\lambda - \lambda_0)$$

根据正弦定理：

$$\sin Z\sin\alpha=\cos\psi\sin(\lambda - \lambda_0)$$

这样，就可以将地理坐标转换为指定极点的球面极坐标了。获得的极坐标中Z可以很方便地转化（ψ=π/4-Z）为等效的“纬度”，以带入正轴投影公式。