洛谷 P2820 局域网(prim)

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2820

题目背景

某个局域网内有n(n<=100)台计算机，由于搭建局域网时工作人员的疏忽，现在局域网内的连接形成了回路，我们知道如果局域网形成回路那么数据将不停的在回路内传输，造成网络卡的现象。因为连接计算机的网线本身不同，所以有一些连线不是很畅通，我们用f(i,j)表示i,j之间连接的畅通程度，f(i,j)值越小表示i,j之间连接越通畅，f(i,j)为0表示i,j之间无网线连接。

题目描述

需要解决回路问题，我们将除去一些连线，使得网络中没有回路，并且被除去网线的Σf(i,j)最大，请求出这个最大值。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个正整数n k

接下来的k行每行三个正整数i j m表示i,j两台计算机之间有网线联通，通畅程度为m。

输出格式：

一个正整数，Σf(i,j)的最大值

输入输出样例

输入样例：

5 5
1 2 8
1 3 1
1 5 3
2 4 5
3 4 2

输出样例：

8

说明

f(i,j)<=1000

解题思路

首先，我们需要了解一下有关最小生成树的知识。

名词解释：

• 最小生成树：对于带权图，权值和最小的生成树

• 最小瓶颈生成树：对于带权图，最大权值最小的生成树

• 最小生成树一定是最小瓶颈生成树

蒟蒻不理解，换一种解释：

• 生成树：在一幅图中将所有n个点连接起来的n-1条边所形成的树

• 最小生成树：边权之和最小的生成树

算法：

　　Prim算法或者Kruskal算法。但是一般都会使用Kruskal算法，因为它实用性更强，更加灵活，而且不用建图。

　　但是在这里我们介绍prim算法。

prim算法：

　　prim算法的思想和dijstra很像——都是红白点思想。初始状态下，除第一个点（可以是任意一个点）为红点外，所有的点都是白点，每一次循环找出距离这个红点最近的白点，把它变成红点，然后再用这个点去更新其他的白点。就像这样，直到所有的点都变成红点。

这个题就是求被除去的长度最大，就是剩下的总长度最小，剩下的总长度就是最小生成树的边权和，被除去的总长度=原来总长度-最小生成树的边权和。

其中对memset不懂的推荐我的另一篇博客：https://www.cnblogs.com/yinyuqin/p/10162716.html

具体实现请见代码：

#include<iostream>
#include<cstring>        //memset的头文件 
using namespace std;
int m[105][105],n,k,cnt1,cnt2;    //m用来存图（邻接矩阵存图） 
int a[105];                //a[i]存的是每个点到最小生成树的最短距离 
int ok[105];            //ok[i]存的是i这个点是否已经在最小生成树上 
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        m[a][b]=m[b][a]=c;        //这个一个无向图。 
        cnt1+=c;                //存原图的边权和 
    }
    memset(a,0x7f,sizeof(a));    //先把每个点到最小生成树的距离设置为无穷大。 
    a[1]=0;                        //将点1加入最小生成树，点1到最小生成树的距离设置为0。 
    for(int j=1;j<=n;j++){        //要保证每一个点都在最小生成树里面，就需要循环n次。 
        int minn=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){    //找到距离最小生成树最小的白点 
            if(!ok[i]&&((a[i]<a[minn])||minn==0)) minn=i;
        }
        ok[minn]=1;                //将白点变为红点，加入最小生成树 
        for(int i=0;i<=n;i++){    //更新与这个点相邻的其他白点距最小生成树的距离 
            if(m[minn][i]&&!ok[i]) a[i]=min(m[minn][i],a[i]);//取最小值 
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) cnt2+=a[i];    //统计最小生成树的边权和 
    cout<<cnt1-cnt2;            //相减即为答案 
    return 0;
}