解一道题

    今天下午上班做的突然很烦，一个东西搞了快两个月了，精度没什么进展有点烦躁。赵坚给我说了一道题目，好像是哪个公司的面试题，偷偷做一下，放松一下。题目是这样的：一个台阶一共50个阶梯，从底部开始，每一步可以走1或2或3个阶梯，走到顶一共有多少总走法。

    这个题目第一时间想到的是对每一步分情况讨论：

 

    用回溯法做，这其实就是一个三叉树的先序遍历。用递归实现很简单，但是这个是指数增长，而且树的深度比较深，都是1的话要50步，最少也要3×16+2×1共17步。也就是树的深度在17到50之间也就是在[3^17,3^50]=[129140163, 7.1790e+023]之间。果然跑了半天没结果。我修改了一下数据，当台阶数改为32时就已经开始要等待几秒了。用这个方法在我有生之年是得不到答案的。

    于是想从排列组合入手简化，现在的方法是给出排列，可不可以先找出组合数。也就是如果台阶是共5梯，1112，1121，1211，2111是4种排列，但是我可以先找到3个1，1个2这个组合，再考虑这个组合有多少种排列方法。这样的话节点数就会少掉很多，树画出来就应该变成：

 

    也就是只有1下面才有1，2，3三个节点，2下面只有2，3两个节点，3下面只有3一个节点。这样可以保证每条路径得到的是一种不同的组合。先计算一下第n层的节点数。观察一下可以看到每一层只有1个1，第n层有n个2，第1层1个3，第n层3的个数是第n-1层1的个数+2的个数+3的个数。设第n层有Sn个3，则S1=1,Sn=1+(n-1)+Sn-1.得到Sn=n(n+1)/2.所以第n层节点数是1+n+Sn=(n^2+3n+2)/2。而原来第n层的节点数是3^n。一下子从指数增长减低到了n的平方级。树的深度仍然是在17到50之间，但是节点数减少为在 [171, 1326]之间。这个数量级，一瞬间有哪些组合就出来了。

    但是在每个节点上有多少种排列，也就是说有a个1，b个2，c个3有多少种排列，我本来想当然觉得这个很简单，认真一想一时给不出直接的关于a，b，c的直接解，但是可以很容易想到递归的方法，如果说有f(a,b,c)种排列，如果第一步走1个台阶，后面就有a-1个1，b个2，c个3；如果第一步走2个台阶，后面就有a个1，b-1个2，c个3；如果第一步走3个台阶，后面就有a个1，b个2，c-1个3.所以f(a,b,c)= f(a-1,b,c) +f(a,b-1,c) +f(a,b,c-1),f(0,0,1)=f(0,1,0)=f(1,0,0)=1.但是这样求的话又变成一个三叉数，又变成3^n复杂度的问题了。但是很容易发现在f(a,b,c)中a,b,c是等价关系，也就是说f(a,b,c)=f(a,c,b)=f(c,a,b)。所以又变成从排列变成组合的一个过程。每次迭代之前先把f(a,b,c)的a,b,c按照升序或者降序排列。而且f(a,b,c)不用每次算，算一次保存下来，以后只要查表就可以了。这样算法稍稍复杂了一点，但是代码仍然很好写，而且复杂度是n的平方，n最大只有50，每个f(a,b,c)也只需要计算一次即可，因此前面第一步得到的组合再转换成排列，每个节点所花费的时间就几乎是常数的。但是要先注意一个问题，排列数可能很大，很可能溢出。检验一下，很明显f(a,b,c)当a,b,c大小接近的时候f(a,b,c)更大一些。50个台阶a,b,c大小接近的解比如7个1，8个2，9个3.如果用unsigned long，果然f(7,8,9)溢出，改用UINT64就可以了。

    具体结果的数值不记得了，代码在公司不能带出来。把思路记录一下，这个f(a,b,c)肯定有方法直接得到，不用递归来做。赵坚说这题目有nlogn的解法，以后再想。

 

（续）2012-05-30

    今天上午上厕所的时候又想了一下，突然想到根本没必要这么繁琐，我们要的只是走法的次数，具体的走法根本没必要知道。所以应该这么思考，50梯台阶可以由走了49梯台阶再走1梯达到，或者走了48梯台阶再走2梯达到，或者走了47梯台阶再走3梯达到。所以设n梯台阶有g(n)种走法。g(50)=g(49)+g(48)+g(47)，更一般的g(n)=g(n-1)+g(n-2)+g(n-3),g(1)=1,g(2)=2,g(3)=4.所以计算量变成了O(n)，一个for循环就搞定了。

    博客网果然高手如云，立刻就有人指出了这种做法，而且也有人解答了昨天f(a,b,c)如何直接由a,b,c得到：f(a,b,c)=(a+b+c)!/(a!b!c!)，我原来还以为要用组合数学中的生成函数来做才能搞出来。还有人指出了我计算复杂度的错误：我计算的是第n层节点数，而不是我这个问题计算过程中遍历的节点数，“上述方法，由于使用了字典类，因此递归算法的复杂度就是n。算上总字典中查值（假设用的是二分查找）的复杂度是logn，那么乘起来正好是nlogn。”所以第二种计算组合数的方法并不是O(n^2)而是O(nlogn)。同理，第一种方法其实也不是O(3^n)，确切应该是介于O(3^n)和O(3^(n/3))之间，但是还是指数级的增长。

    这倒题其实不难，但是这个过程比较有意思，从指数级到平方级到线性级，而且如果有兴趣，还可以利用生成函数，类似fibonacci数列的做法，直接得到g(n)关于n的表达式，就直接降到常量级了。不同的复杂度解放可以看到是因为中间过程得到了很多冗余结果：指数级复杂度得到了所有的走法的排列，平方级复杂度得到了所有走法的组合，线性级复杂度得到了所有小于等于n阶台阶的走法次数，而常数级只有n梯台阶的走法次数。最后答案是10562230626642，有兴趣的可以自己写一下。