一致可积注意事项

一列绝对可积函数 $f_n$ 一致可积,需要三个条件.

第一个条件是:

$${\sup_n \|f_n\|_{L^1(\mu)} = \sup_n \int_X |f_n|\ d\mu <+\infty}. $$
第二个条件是:

当 ${M \rightarrow +\infty}$ 时,${\sup_n \int_{|f_n| \geq M} |f_n|\ d\mu \rightarrow 0}$.

第三个条件是

${\delta\rightarrow 0}$时, ${\sup_n\int_{|f_n| \leq \delta} |f_n|\ d\mu \rightarrow 0}$.

要注意的是，第一个条件比如下条件要强：

函数列 $f_n$ 被一个绝对可积的函数 $g$ 控制(dominated).

 

而且第二个条件比如下的条件要强

$$\lim_{M\to\infty}\int_{|f_n|\geq M}|f_n|d\mu=0.$$

第三个条件比如下的条件也要强

$$\lim_{\delta\to 0}\int_{|f_n|\leq\delta}|f_n|d\mu=0.$$