从隐函数存在定理到隐函数定理

我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下:

Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:\mathbf{R}^{n+m}\rightarrow\mathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ \mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ \mathbf{(x,y)}=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)$ 的形式.对于任意 一 点$ (\mathbf{a,b}) = (a_{1},\cdots, a_{n}, b_{1},\cdots,b_m)$ 使 得$ f(\mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断 能否在$ (\mathbf{a,b})$附近定义一 个$ \mathbf{y}$关于$ \mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(\mathbf{x,y})=0$,就有 $ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ \mathbf{a}$和$ \mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并 且$ g$的函数图像满足

$ {\displaystyle \{(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))\}=\{ (\mathbf{x},\mathbf{y}) | f(\mathbf{x},\mathbf{y}) =0 \}\cap(U\times V).}$

要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于 给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做

$ {\displaystyle (Df)(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b})&\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right]=[X|Y]}$

隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.

当矩阵 $ Y$ 可逆时,我们建立了 $ \mathbf{y}$ 和 $ \mathbf{x}$ 的函数关系 $ \mathbf{y}=g(\mathbf{x})$,下面我们来证明函数 $ g$ 是连续可微的.也就是 证明函数 $ g$ 的雅可比矩阵

$ {\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix} }$

存在,并且各项关于 $ \mathbf{x}$ 连续.为此,我们先来求 $ z=f(\mathbf{x},g(\mathbf{x}))$ 关于变量 $ \mathbf{x}$ 的导数.根据复合函数的求导法则,易得结果为 \begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}&=\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_{k=1}^m \frac{\partial
    f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial
    x_1}&\cdots \frac{\partial f}{\partial
    x_j}+\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^m
  \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}
\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial
    x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
    \sum_{k=1}^m \frac{\partial
    f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial
    x_1}&\cdots&\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f}{\partial y_{k}}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}&\cdots&\sum_{k=1}^m
  \frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_n}
\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial
    x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
  \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial
    y_1}{\partial x_n}\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\
\end{pmatrix}.
\end{align*}
由于矩阵

$ {\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix} }$

可逆,因此可得

$ {\displaystyle \begin{split} \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial y_m}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial y_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial y_m} \end{pmatrix}^{-1} \left[\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}}-\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_j}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right]. \end{split} \ \ \ \ \ (1)}$

因此 $ g$ 的雅可比矩阵存在,且由式 1 顺便推出了 $ g$ 的雅可 比矩阵关于 $ \mathbf{x}$ 的连续性.顺便还推出了 $ g$ 的雅可比矩阵的公式! 这就是隐函数定理!