数论概论(Joseph H.Silverman) 习题 39.1 $\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的连分数展开中的重复现象

计算$\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的连分数中的前10项.

 

解:
\begin{align*}
\sqrt{3}=1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}}
\end{align*}
\begin{align*}
\sqrt{3}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}}}
\end{align*}
\begin{align*}
\sqrt{3}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}}}}
\end{align*}
又出现了$\sqrt{3}-1$,可见,$\sqrt{3}$的连分数展开的前十项为$$[1,1,2,1,2,1,2,1,2,1] $$

 

\begin{align*}
\sqrt{5}=2+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{5}-2}=4+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}-2}}
\end{align*}
可见，$\sqrt{5}$的连分数展开的前十项为$$ [2,4,4,4,4,4,4,4,4,4] $$