数学分析_Tom Apostol_定理7.48:黎曼可积的充要条件

设$f$在$[a,b]$上定义且有界，$D$表示$f$在$[a,b]$内的间断点（即不连续的点）集.$f$在$[a,b]$上黎曼可积当且仅当$D$是零测集.

证明:只要理解了开集的构造和黎曼积分的推广——采用任意无限分割时这两篇文章，这个结论是容易的.但是，我仍然认为写一写是有好处的.

$\Rightarrow$:对于任意给定的正实数$\varepsilon$,根据数学分析_Tom M.Apostol_定理7.47,我们知道，$\{x\in[a,b]:w_f(x)\geq \varepsilon\}$是含于$[a,b]$的闭集,其中$w_f(x)$表示$f$在$x$点的振幅.易得该闭集必为零测集[为什么?提示:否则与黎曼可积矛盾(注意在此处结合黎曼积分的推广——采用任意无限分割时)].然后根据可数个零测集的并也是零测集，我们易得$D$是零测集.

$\Leftarrow:$这是容易的.

 

注:我认为该命题对于Riemann-Stieltjes积分是不成立的.