扩展欧几里德算法求不定方程
例题是 POJ 1061 青蛙的约会
题目大意是，一个周长为L的圆， A、B两只青蛙，分别位于 x 、y 处，每次分别能跳跃 m 、n ，问最少多少次能够相遇，如若不能输出 “ Impossible”
此题其实就是扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程。
设过 k1 步后两青蛙相遇，则必满足以下等式：
( x + m*k1 ) - ( y + n*k1 ) = k2*L ( k2 =0 , 1 , 2....) //这里的k2: 存在一个整数k2, 使其满足上式
稍微变一下形得： ( m - n )*k1 - k2*L= y - x
令 a = m - n , b = -L , c = y - x. 即
a*k1 + b*k2 = c
转换成了线性同余方程，只要上式存在整数解，则两青蛙能相遇，否则不能。
欧几里德扩展原理 是解决线性同余方程的工具
下面我们介绍 欧几里德定理的证明，以及如何推广到扩展欧几里德
先来看下什么是欧几里德扩展原理：
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：
令 d = gcd( a, b )
则 d | a ，d | b ( x|y 表示 x能够整除y,即 y%x = 0 )
又 a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
前面已经知道 d | b
又 d | (a%b) => d | r => d | ( a - bk )
=> ( d | a ) - ( d | bk )
所以 d | (a%b)
因此d是(b,a mod b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
1 int Gcd(int a, int b)
2 {
3 if(b == 0) return a;
4 return Gcd(b, a % b);
5 }
当然你也可以写成迭代形式：
1 int Gcd(int a, int b)
2 {
3 while(b != 0)
4 {
5 int r = b;
6 b = a % b;
7 a = r;
8 }
9 return a;
10 }
扩展欧几里德算法
问题： 计算 a*x + b*y = Gcd( a , b )
由 欧几里德定理 得: Gcd( a , b ) = Gcd( b , a%b ) 又 Gcd( b, a%b ) = b*x0 + (a%b) * y0 // 这里( x0, y0 )指 存在一对(x0,y0) 使其满足 等式 所以 a*x + b*y = b*x0 + (a%b) * y0 又 a % b = a - (a / b) * b // 注：这里的 (a/b) 是程序设计语言中的除法 带入式子得： a*x + b*y = b*x0 + [ a - (a / b) * b ] * y0 将式子右边变换下得： a*x + b*y = a*y0 + b*( x0 - (a/b) * y0 ) 根据对称我们可以知道： x = y0 , y = x0 - (a/b) * y0
这样我们就得到了求解 x,y 的方法：x，y 的值基于 x0，y0
由此，我们可以通过类似 欧几里德定理 循环迭代地 求出 x , y
再考虑下边界条件： 因为 a*x + b*y = Gcd( a, b ) 当 b = 0 时， Gcd( a, b ) = a 所以 a*x + b*y = a 所以 x = 1, y = 0 由此，我们知道边界条件为 当 b = 0 时， x = 1, y = 0
有上面的推导过程，我们可以得出C++的实现：
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y) // 此 &x 表示引用，目的是像 C中 指针那样传递地址，达到修改值的目的
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
int t = x; // 因为 x 本身值要被覆盖，之后又要使用，所以定义临时变量来存储信息
x = y;
y = t - a / b * y;
return r;
}
不定方程 a * x + b * y = c 的求解过程：
求 a * x + b * y = c 的整数解。 设 d = Gcd(a,b) , 若 c % d != 0 则不定方程无整数解 , 由数论相关定理可以证明 由上面的推导,我们知道,我们可以使用 ExGcd： a*x + b*y = Gcd( a, b ) 求出一组解 ( x0 , y0 ) 使其满足 a * x0 + b * y0 = Gcd( a, b ) 令 A = a%d , B = b%d, C = c%d 带入原式 A * x + B * y = C ------ 等式 1 因为 Gcd( A, B ) = 1 , 由 扩展GCD 性质得 A * xi + B * yi = Gcd( A, B ) = 1 ------ 等式2 我们可以通过 扩展GCD 求出 等式2 的一组解 ( x0, y0 ) 使其满足 A * x0 + B * y0 = 1 ------- 等式3 等式3 两边同乘以 C, 可得 A * x0 * C+ B * y0 * C = C ------- 等式4 通过观察,我们可以知道 二元组 ( x0*C, y0*C ) 是 等式1 的一组解 使其满足 A*x + B*y = C 所以 ( x0*C, y0*C ) 是 a*x + b*y = c 的一组解 另,我们将式子1 变形下: A * ( x + B ) + B * ( y + A ) = C 我们可以知道 x , y 解有多组. 但都满足如下关系 x = x0*C + k * B ( 其中 k 为整数 ) y = y0*C + k * A
此时方程的所有解为：x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0，令x=0可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，实际上可能x根本取不到0，那么由计算机的取整除法可知：由 t=c*k1/b算出的t，代回x=c*k1-b*t中，求出的x可能会小于0，此时令t=t+1，求出的x必大于0；如果代回后x仍是大于等于0的，那么不需要再做修正。
