关于 BumpMap 和 NormalMap 原理细节中的 Tangent Space 和 TBN 矩阵

　　这篇文章假使你已经对 BumpMap 和 NormalMap 的流程有基本的了解。

　　这两天因为项目需要又复习了下 NormalMap 的原理细节，一年多以前细细看过一次，到现在忘了很多，可是当初又没有写笔记，所以在纠结细节的这两天因为数学差而特别痛苦。

　　BumpMap 和 NormalMap 说起来大家都非常熟悉，但就是就我个人而言，初次分析背后的原理有很多容易混淆的地方，对于爱钻牛角尖的人很是折磨。

　　BumpMap 出现早，主要使用灰度图(高度图)，实时计算法线，过程就和生成法线图的过程一样，利用相邻像素点的高度差向量叉撑计算法线，这个过程比较简单没有异议，有了法线之后的计算和 NormalMap 一致，对于 BumpMap 的的理论，找到了一篇40多页的论文：A Practical and Robust Bump-mapping Technique for Today's GPU，我现在是实在没时间去琢磨看完它。

　　对于 NormalMap 的使用，其中最重要的莫过于 Object Sapce (物体坐标系) 和 Tangent Space (切线坐标系，也称切线空间) 之间的转换过程，以及转换矩阵 TBN 矩阵。第一次接触是《Introduction to 3D Game Programming with DirectX 9.0c—A Shader Approach》这本书：假设 T, B, N 分别为相对于 Object Space 的沿着切线空间的 x, y, z 坐标轴的向量，那么从 Tangent Space 到 Object Space 的转换矩阵为:

                                  | T_x    T_y    T_z |

      M_Δ = [T, B, N]^T =   | B_x    B_y   B_z |

                                  | N_x    N_y   N_z |

假设 M_Δ 为正交矩阵，那么从 Object Space 到 Tangent Space 的转换矩阵为:

                                                               | T_x    B_x   N_x |

     M = M_Δ^-1 = ([T, B, N]^T)^-1 = [T, B, N] =   | T_y    B_y   N_y |

                                                               | T_z    B_z   N_z |

　　然后预生成每个顶点的 T, B, N。

　　可能大家到这里就会觉得ok了，但是如果你看到了这篇文章《Derivation of the Tangent Space Matrix》，数学不好的人也许就会凌乱，因为在这里从 Tangent Spane 到 Object Space 的变换矩阵 M 与上面那本书里讲到的是相反的。即 M_Δ = [T, B, N], M = M_Δ^-1 。(这篇文章讲解的 TBN 部分，与《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》的第7.8节讲解的完全一致)。更有意思的是，我发现有人和我有同样的疑问，发在了 Ogre 论坛：http://www.ogre3d.org/forums/viewtopic.php?f=10&t=54827，比较早了2009年的，遗憾的是下面的回复都没有戳中他的点。

　　那这两种说法到底谁正确呢？从 Tangent Spane 到 Object Space 的变换矩阵到底是 [T, B, N] 还是 [T, B, N]^T 呢？答案是全都正确！

　　因为看到这里线代学得不好的人很容易忽略一个条件就是：整个运算过程中使用的向量是行向量还是列向量，行向量左乘矩阵，列向量右乘矩阵。假设 T, B, N 是相对于 Local Space 的 Tangent Space 自身的坐标轴， 那么相对 Tangent Space 自身三个坐标轴自然是 T^,(1, 0, 0)，B^,(0, 1 , 0), N^,(0, 0, 1) ，这时有以下公式：

      对于使用行向量：[T^,, B^,, N^,]^T M = [T, B, N]^T

                       =>   [(1, 0, 0)，(0, 1 , 0), (0, 0, 1)] M = [T, B, N]^T

                       =>   M = [T, B, N]^T

      对于使用列向量：M [T^,, B^,, N^,]= [T, B, N]

                       =>   M [(1, 0, 0)，(0, 1 , 0), (0, 0, 1)] = [T, B, N]

                       =>   M = [T, B, N]

　　很明显，《Introduction to 3D Game Programming with DirectX 9.0c—A Shader Approach》一书中使用的是行向量，从 Tangant Space 到 Object Space 的计算过程为：

      V_object = V_tangent M = [X_tangent, Y_tangent, Z_tangent] [T, B, N]^T;

      V_tangent = V_object M^-1 ，如果 M 正交，则有：

      V_tangent = V_object M^-1= V_object M^T

                  = [X_object, Y_object, Z_object] [T, B, N]

                  = [V_object dot T, V_object dot B, V_object dot N]

　　而《Derivation of the Tangent Space Matrix》和 《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》中使用的是列向量，尤其是前者的矩阵都是使用的左乘，那么计算过程为：

      V_object^T = M V_tangent^T = [T, B, N] [X_tangent, Y_tangent, Z_tangent]^T;

      V_tangent^T = M^-1 V_object^T ，如果 M 正交，则有：

      V_tangent^T = M^-1 V_object^T = M^T V_object^T

                   = [T, B, N]^T [X_object, Y_object, Z_object]^T

                   = [V_object^T dot T^T, V_object^T dot B^T, V_object^T dot N^T]

　　通过以上对比，是不是一目了然，而且无论怎样转换，最终还有一个可以检验的就是，从 Object Space 到 Tangent Space 转换一个向量的最终结果一定是，该向量分别与 T, B, N 三个向量分别点乘，作为新的 Tangent Space 中向量的三个分量，从以上的V_tangent的最终结果就可以看到。

　　额外补充，容易搞混的还有一点就是一旦假设 TBN 矩阵正交，那凌乱就来了，本来由于行向量和列向量就已经使 [T, B, N] 和 [T, B, N]^T 的使用对于新手来说完全乱了阵脚，这个正交完全就是来捣乱的，所以建议新手完全忽略 TBN 矩阵的正交，记住 M = M_Δ^-1 就够了。《Derivation of the Tangent Space Matrix》和 《Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics》这两个都是到最后才说到正交化 TBN 概念，前面都是硬算 M_Δ^-1，所以它们介绍的理论更纯正，但细节也更复杂些。

　　好了，以上就是这两天纠结理解的结果，下一篇我将再分享一下根据顶点位置和 uv 坐标计算具体的 TBN 矩阵时一些细节的理解。