矩阵快速幂基础讲解

摘自https://www.cnblogs.com/cmmdc/p/6936196.html

1.整数快速幂：

为了引出矩阵的快速幂，以及说明快速幂算法的好处，我们可以先求整数的幂。
如果现在要算X^8：则 XXXXXXXX 按照寻常思路，一个一个往上面乘，则乘法运算进行7次。
(XX)(XX)(XX)(XX)
这种求法，先进行乘法得X^2,然后对X^2再执行三次乘法，这样去计算，则乘法运算执行4次。已经比七次要少。所以为了快速算的整数幂，就会考虑这种结合的思想。
现在要考虑应该怎么分让计算比较快。接下来计算整数快速幂。例如：X^19次方。
19的二进制为：1 0 0 1 1 。
由 (X^m)(X^n) = X^(m+n) 
则 X^19 = (X^16)(X^2)*(X^1) 
那么怎么来求解快速幂呢。请看下列代码：
求解 X^N 的值。
///整数快速幂，计算 x^N 

int QuickPow(int x,int N)
{
    int res = x;
    int ans = 1;
    while(N)
    {
        if(N&1)
        {
            ans = ans * res;
        }
        res = res*res;
        N = N>>1;
    }
    return ans;
}

 

那么让我们来看看下面这段代码到底对不对：
对于 X^19 来说：
19的二进制为：1 0 0 1 1
初始：

ans = 1; res = x;

则10011最后一位是1，所以是奇数。

ans = res*ans = x; 
res = res*res = x^2;

然后右移一位，1 0 0 1
则1001最后一位是1，所以是奇数

ans = res*ans = x*(x^2) = x^3     
res = res*res = x^2*x^2 = x^4

然后右移一位，1 0 0
则最后一位是0，所以当前的数为偶数。

res = res*res = x^4*x^4 = x^8

然后右移一位，1 0
最后一位是0，当前数是偶数。

res = res*res =x^8*x^8= x^16

然后右移一位，1
最后一位是1，当前数是奇数

ans = ans*res = (x^3)*（x^16） = x^19
res = res*res = x^32

可以看出 res = X^m ,m 始终是与二进制位置上的权值是相对应的。当二进制位为0时，我们只让resres使幂指数2.对应下一个二进制位的权值，当二进制位为1时， ans = ans*res  。则乘上了该乘的X幂次。

2.矩阵快速幂算法篇

看了一个整数数的快速幂，现在我们就正式介绍矩阵快速幂算法。假如现在有一个n*n的方阵A。所谓方阵就是行数和列数相等的矩阵，先给出一个数M，让算矩阵A的M次幂，A^M.在此只要求计算并不需要去深究这个矩阵到底是什么含义。则上面代码可以化为。