Dilworth定理证明

Dilworth定理：对于一个偏序集，最少链划分等于最长反链长度。

Dilworth定理的对偶定理：对于一个偏序集，其最少反链划分数等于其最长链的长度。

偏序集的定义：偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”，它满足自反性、反对称性和传递

性）。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:

 

(1)自反性：a≤a;

(2)反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;

(3)传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。

 

带有偏序关系的集合称为偏序集。

 

 

令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。

在这个例子(反链)中元素Ri<=Rj是指(i<=j) and (ai>=aj)

 

一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。

一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。

 

【定理】

在X中，对于元素a，如果任意元素b，都有a≤b，则称a为极小元。

定理1：令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。

 

其对偶定理称为Dilworth定理：

令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。

虽然这两个定理内容相似，但第一个定理证明要简单一些。此处就只证明定理1。

 

证明：设p为最少反链个数

(1)先证明X不能划分成小于r个反链。由于r是最大链C的大小，C中任两个元素都可比，因此C中任两个元素都不能属于同一反

链。所以p>=r。

(2)设X1＝X，A1是X1中的极小元的集合。从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得

a1<=a2。令A2是X2中极小元的集合，从X2中删除A2得到X3……，最终会有一个Xk非空而Xk+1为空。于是A1,A2,…,Ak就是X的

反链的划分，同时存在链a1<=a2<=…<=ak，其中ai在Ai内。由于r是最长链大小，因此r>=k。由于X被划分成了k个反链，因此

r>=k>=p。

(3)因此r=p，定理1得证。

（转载）