P4388 付公主的矩形(gcd+欧拉函数)

P4388 付公主的矩形

前置芝士

\(gcd\)与欧拉函数

要求对其应用于性质比较熟，否则建议左转百度

思路

有\(n×m\)的矩阵，题目要求对角线经过的格子有\(N\)个，
设函数\(f(x,y)\)为矩阵\((x,y)\)对角线经过的格子

设\(gcd(n,m)=1\)，对角线在矩形中不会经过任意一个格点，\(f(n,m)=n+m-1\)

那\(gcd(n,m)!=1\)呢？将这个矩阵拆除\(gcd(n,m)\)个相同的矩阵

其中\(gcd(n',m')=1\)，则\(\dfrac{n}{n'}=\dfrac{m}{m'}\)

所以我们能推倒出公式

\(f(n,m)=\dfrac{n}{n'}f(n',m')\)

\(~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{n}{n'}×(n'+m'-1)\)

\(~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{n×n'}{n'}+\dfrac{m×m'}{m'}-gcd(n,m)\)

\(~~~~~~~~~~~~~=n+m-gcd(n,m)\)

则我们要求\((n,m)\)的对数使得 \(n+m-gcd(n,m)=N\)

设\(i=gcd(n,m)\)

$n+m-gcd(n,m)=N $

\(\Rightarrow \dfrac{n}{i}+\dfrac{m}{i}-1=\dfrac{N}{i}\)

\(\Rightarrow \dfrac{n}{i}+\dfrac{m}{i}=\dfrac{N}{i}+1\)

我们枚举\(gcd(n,m)\)也就是\(i\)，那我们怎么求呢？

欧拉函数有一性质\(\varphi(N)\)，\(N>2\)时，\(\varphi(N)\)为偶数

所以\(nun=\varphi(\dfrac{N}{i}+1)\)

跑得比较慢(200ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL maxn=1000007;
LL n,tot,ans;
LL phi[maxn],pim[maxn>>1];
inline void First(){
    for(LL i=2;i<=n+1;i++){
        if(!phi[i])
            phi[i]=i-1,
            pim[++tot]=i;
        for(LL j=1;j<=tot&&pim[j]*i<maxn;j++)
        	if(i%pim[j]==0){
                phi[i*pim[j]]=phi[i]*pim[j];
                break;
            }else
                phi[i*pim[j]]=phi[i]*(pim[j]-1);
    }
}
int main () {
    scanf("%lld",&n);
    First();
    for(LL i=1;i<=n;i++)
        if(n%i==0)
            ans+=phi[n/i+1];
    printf("%lld",ans+1>>1);
    return 0;
}

剪一下枝(100ms)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int Read(){
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-') f=-1; c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
const LL maxn=1000007;
int n,tot;
int phi[maxn],pim[maxn>>1];
LL ans;
inline void First(){
    for(int i=2;i<=n+1;i++){
        if(!phi[i])
            phi[i]=i-1,
            pim[++tot]=i;
        for(int j=1;j<=tot&&pim[j]*i<maxn;j++)
        	if(i%pim[j]==0){
                phi[i*pim[j]]=phi[i]*pim[j];
                break;
            }else
                phi[i*pim[j]]=phi[i]*(pim[j]-1);
    }
}
int main () {
    n=Read();
    First();
    for(int i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
            if(i*i==n)
                ans+=phi[i+1];
            else
                ans+=phi[i+1]+phi[n/i+1];
    printf("%lld",ans+1>>1);
    return 0;
}