【NOIP2014】飞扬的小鸟
Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。
为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:
- 游戏界面是一个长为 nn，高为 mm 的二维平面，其中有 kk 个管道（忽略管道的宽度）。
- 小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
- 小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 11，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 XX，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 YY。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度 XX 和下降的高度 YY 可能互不相同。
- 小鸟高度等于 00 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 mm 时，无法再上升。
现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
输入格式
第 11 行有 33 个整数 n,m,kn,m,k，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；
接下来的 nn 行，每行 22 个用一个空格隔开的整数 XX 和 YY，依次表示在横坐标位置 0∼n−10∼n−1 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 XX，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 YY。
接下来 kk 行，每行 33 个整数 P,L,HP,L,H，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 PP 表示管道的横坐标，LL 表示此管道缝隙的下边沿高度，HH 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 PP 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。
输出格式
共两行。
第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 11，否则输出 00。
第二行，包含一个整数，如果第一行为 11，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。
样例一
input
10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3
output
1
6
样例二
input
10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10
output
0
3
限制与约定
对于 30%的数据：5≤n≤10,5≤m≤10,k=05≤n≤10,5≤m≤10,k=0，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 33 次；
对于 50%的数据：5≤n≤20,5≤m≤105≤n≤20,5≤m≤10，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 33 次；
对于 70%的数据：5≤n≤1000,5≤m≤1005≤n≤1000,5≤m≤100；
对于 100%的数据：5≤n≤10000,5≤m≤1000，0≤k<n,0<X<m,0<Y<m,0<P<n,0≤L<H≤m,L+1<H5≤n≤10000,5≤m≤1000，0≤k<n,0<X<m,0<Y<m,0<P<n,0≤L<H≤m,L+1<H。
时间限制：1s1s
空间限制：128MB
首先想到设f[i][j]表示到第i行第j列所需要的最少点击屏幕次数。转移方程为
f[ i ][ j ]=min{f[ i-1 ][ j - k*x[i-1] ] + k} (1<= k <= j/x) 上升——①
f[ i ][ j ]=min{f[ i-1 ][ j + y[i-1] } ( j + y[i-1] <= m) 下降
显然，下降可以O(1)转移，主要问题在上升的转移。
我们将上升的方程变一下：
f[ i ][ j - x[i-1] ]=min{f[ i-1 ][ (j - x[i-1]) - (k-1)*x[i-1] ] + k -1} ——②
这是 f[ i ][ j - x[i-1] ] 的转移。
由 ② 化简可得：
f[ i ][ j - x[i-1] ]=min{f[ i-1 ][ j - k*x[ i-1] ] + k -1}——③
由①③消去f[ i-1 ][ j - k*x[ i-1] ]+k可得
f[ i ][ j ]= f[ i ][ j - x[ i-1 ] ]+1
于是就可以O(n*m)的时间内出解
1 #include <map>
2 #include <set>
3 #include <cmath>
4 #include <ctime>
5 #include <queue>
6 #include <stack>
7 #include <cstdio>
8 #include <string>
9 #include <vector>
10 #include <cstdlib>
11 #include <cstring>
12 #include <iostream>
13 #include <algorithm>
14 #define rg register
15 using namespace std;
16 #define ll long long
17
18 inline int gi()
19 {
20 rg bool b=0;
21 rg int r=0;
22 char c=getchar();
23 while(c<'0' || c>'9')
24 {
25 if(c=='-') b=!b;
26 c=getchar();
27 }
28 while(c>='0' && c<='9')
29 {
30 r=r*10+c-'0';
31 c=getchar();
32 }
33 if(b) return -r;
34 return r;
35 }
36
37 const int inf = 2100000000, N = 10005, M = 1005;
38 int n,m,q,x[N],y[N],f[N][M];
39 bool b[N];
40 struct data
41 {
42 int up,down;
43 } da[N];
44
45 int main()
46 {
47 freopen ("birda.in","r",stdin);
48 freopen ("birda.out","w",stdout);
49 int i,p,j,k,cnt,ans;
50 n=gi(), m=gi(), q=gi();
51 for (i=0; i<n; i++) x[i]=gi(), y[i]=gi();
52 for (i=1; i<=n; i++) da[i].down=0, da[i].up=m+1;
53 for (i=0; i<q; i++) p=gi(), da[p].down=gi(), da[p].up=gi(); //一定要加，不然会影响到第65行的循环枚举
54 for (i=1; i<=n; i++) for (j=0; j<=m; j++) f[i][j]=inf; //初始化。0位置除地面外都为0
55 f[0][0]=inf;
56 for (i=1; i<=n; i++)
57 {
58 for (j=x[i-1]; j<=m; j++)
59 {
60 f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-x[i-1]]+1), f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-x[i-1]]+1); //更新解，先不考虑水管
61 if (j == m) //特殊判断 j==m 的情况，因为不能超过 m ，所以有多种转移
62 for (k=m-x[i-1]; k<=m; k++)
63 f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+1), f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+1);
64 }
65 for (j=da[i].down+1; j<da[i].up; j++) //处理下落，必须是合法的
66 if (j+y[i-1] <= m)
67 f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j+y[i-1]]);
68 for (j=1; j<=da[i].down; j++) f[i][j]=inf; //考虑水管，去掉不合法的解
69 for (j=m; j>=da[i].up; j--) f[i][j]=inf;
70 }
71 cnt=q,ans=inf;
72 for (i=n; i>=1; i--)
73 {
74 for (j=1; j<=m; j++) ans=min(ans,f[i][j]); //若 ans 有值则代表能到达。
75 if (ans < inf) break;
76 if (da[i].up <= m) cnt--; // da[i].up <= m 才是真水管
77 }
78 if (cnt == q) printf("1\n%d\n",ans);
79 else printf("0\n%d\n",cnt);
80 return 0;
81 }
感谢nfy_algorithm提出宝贵的建议。
