数论12——浅谈指数与对数
c/c++语言中，关于指数，对数的函数我也就知道那么多
exp(),pow(),sqrt(),log(),log10(),
exp(x)就是计算e的x次方，sqrt(x)就是对x开根号
pow()函数可是十分强大的(￣ε￣)
pow(a, b)可以算a的b次方，但是b不限于整数，小数也可以
所以pow(x, 0.5)相当于sqrt(x)
pow(M_E, x)相当于exp(x) (M_E就是e)
这是我在math.h发现的可以直接用
#ifdef __STRICT_ANSI__
#undef __STRICT_ANSI__
#endif
#include<cstdio>
#include<cmath>
int main(){
printf("%.20f\n", M_E);
printf("%.20f\n", M_PI);
}
/*
在math头文件的前面，最好加上最上面那三行
因为编译器不同，系统不同，都有可能导致用不了M_E
比如codeforces，不加前三行，无法识别M_E
*/
但是函数总有他存在的意义，要不然大家都用pow(x, 0.5)，没人用sqrt了
所以我认为，后者比前者要快，或者可能更精确(oﾟωﾟo)
比如sqrt，我来给大家讲一个鬼故事(ΘˍΘ=)，有一个比sqrt还要快计算出根号的函数
一个关于被称作“魔数”0x5F3759DF的故事
以下摘自http://www.guokr.com/post/90718/
（不看可以跳过）
http://www.douban.com/note/93460299/
Quake-III Arena (雷神之锤3)是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，而且即使计算机配置低，也能极其流畅地运行。这要归功于它3D引擎的开发者约翰-卡马克（John Carmack）。事实上早在90年代初DOS时代，只要能在PC上搞个小动画都能让人惊叹一番的时候，John Carmack就推出了石破天惊的Castle Wolfstein, 然后再接再励，doom, doomII, Quake...每次都把3-D技术推到极致。他的3D引擎代码资极度高效，几乎是在压榨PC机的每条运算指令。当初MS的Direct3D也得听取他的意见，修改了不少API。
最近，QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。
这是QUAKE-III原代码的下载地址：
http://www.fileshack.com/file.x?fid=7547
(下面是官方的下载网址，搜索 “quake3-1.32b-source.zip” 可以找到一大堆中文网页的
ftp://ftp.idsoftware.com/idstuff/source/quake3-1.32b-source.zip)
我们知道，越底层的函数，调用越频繁。3D引擎归根到底还是数学运算。那么找到最底层的数学运算函数（在game/code/q_math.c）， 必然是精心编写的。里面有很多有趣的函数，很多都令人惊奇，估计我们几年时间都学不完。
在game/code/q_math.c里发现了这样一段代码。它的作用是将一个数开平方并取倒，经测试这段代码比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍：
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
return y;
}
函数返回1/sqrt(x)，这个函数在图像处理中比sqrt(x)更有用。
注意到这个函数只用了一次叠代！（其实就是根本没用叠代，直接运算）。编译，实验，这个函数不仅工作的很好，而且比标准的sqrt()函数快4倍！要知道，编译器自带的函数，可是经过严格仔细的汇编优化的啊！
这个简洁的函数，最核心，也是最让人费解的，就是标注了“what the fuck?”的一句
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
再加上y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
两句话就完成了开方运算！而且注意到，核心那句是定点移位运算，速度极快！特别在很多没有乘法指令的RISC结构CPU上，这样做是极其高效的。
算法的原理其实不复杂,就是牛顿迭代法,用x-f(x)/f'(x)来不断的逼近f(x)=a的根。
简单来说比如求平方根,f(x)=x^2=a ,f'(x)= 2*x,f(x)/f'(x)=x/2,把f(x)代入
x-f(x)/f'(x)后有(x+a/x)/2，现在我们选a=5,选一个猜测值比如2，
那么我们可以这么算
5/2 = 2.5; (2.5+2)/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; (2.25+xxx)/2 = xxxx ...
这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)，没错，一般的求平方根都是这么算的
但是卡马克(quake3作者)真正牛B的地方是他选择了一个神秘的常数0x5f3759df 来计算那个猜测值
就是我们加注释的那一行,那一行算出的值非常接近1/sqrt(n),这样我们只需要2次牛 顿迭代就可以达到我们所需要的精度.
好吧 如果这个还不算NB,接着看:
普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的
这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个
最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？
传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始
值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是
卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。
最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数
字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴
力得出的数字是0x5f375a86。
Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。
论文下载地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf
参考：<IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic><FAST INVERSE SQUARE ROOT>
最后，给出最精简的1/sqrt()函数：
float InvSqrt(float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
return x;
}
大家可以尝试在PC机、51、AVR、430、ARM、上面编译并实验，惊讶一下它的工作效率。
百度百科给的Carmack的sqrt()函数
static float CarmackSqrt (float x){ float xhalf = 0.5f * x; int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE i = 0x5f3759df - (i>>1); // gives initial guess y0 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy return (1 / x);}
看完故事是不是觉得技巧很重要
故事告一段落，要不要来练练手(￣ｏ￣)
poj 2109
http://poj.org/problem?id=2109
题目大意： K ^ N = P, 给N 和 P， 求K。数据规模 ：1<=n<= 200, 1<=p<10101 而且保证存在 k, 1<=k<=109 。
正常不就是 二分+高精度算法 吗？
AC代码：
#include<cstdio> #include<cmath> double n, p; int main(){ while(scanf("%lf%lf", &n, &p) != EOF){ printf("%.0f\n", pow(p, 1/n)); } }
哇哈哈，看到没有，看到没有，这就是技巧(*ﾟ▽ﾟ*)
double虽然精度只有16位左右，但是我们只要知道前16位就够了，后面任凭他用科学计数法去表示吧，反正我们不需要。
因为当n错一位，K的值前16位都会变化很大，所以这样计算出来的K肯定是唯一的。
下面来说说对数：
C语言中，有两个log函数，分别为log和log10函数
log()是以e为底数的，数学上我们是写作ln(x)的
log10()是以10为底数的
那如果我想以2作为底数怎么办
这么写 log(x) / log(2) 数学公式，还记得吗<（￣︶￣）>
定义类型：double log(double x);
double log10(double x);
当然我们一般用double的，它不只能接受double
double log (double x);
float log (float x);
long double log (long double x);
double log (T x); // additional overloads for integral types
最后一句模板T类型只有c++11支持，基本你不会自己去重载所以用不上
然后，从c++98开始，就支持 <complex> and <valarray>两个类型了
待会我会讲讲<complex>头文件，这是复数类
在比较a^b和c^d次方，如果b和d非常大怎么办
比如这题：hdu 5170
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5170
告诉你a,b,c,d，要你比较a^b和c^d，输出"<"，">"或"="
1≤a,b,c,d≤1000
所以直接用log的性质
log(a^b) = b * log(a)
如果两边同时log一下再比较，那就方便多了（注意log有精度误差）
完整性质：
AC代码：
#include<cstdio> #include<cmath> int main(){ int a, b, c, d; double l, r; while(~scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)){ l = b * log(a); r = d * log(c); if(fabs(l - r) < 1e-6){//精度误差，一般小于0.000001可以认为相等 puts("="); }else if(l < r){ puts("<"); }else{ puts(">"); } } } //关于1e-6,有人写1e-7,1e-8,连1e-10都有,看喜好咯
或许有比较数学化的比较方法，但是精度用的好的人真是无敌了(☆ﾟ∀ﾟ)
有没有想过遇到x^y^z怎么办
cf 621D
http://codeforces.com/problemset/problem/621/D
给你三个数x,y,z，比较这12个式子，问你哪个式子最大
0.1 ≤ x, y, z ≤ 200.0
x^(y^z)
这个式子log一下
变成
原式 = y^z*log(x)
再log一下变成
= log(y^z*log(x))
= log(y^z) + log(log(x))
= z * log(y) + log(log(x))
本来这样就可以比较了
可是题目的范围是0.1
log()小数会产生负数
log负数就没意义了
所以对于log(log(x))这么写不行
那怎么办
哼哼，技巧
double范围 -1.7*10(-308)～1.7*10(308)
long double范围 128 18-19 -1.2*10(-4932)～1.2*10(4932)
虽然他们两精度都是16位，但是200的200次方long double竟然存的下
所以只要一次log就好了
然后愉快的写代码吧
AC代码：
#include<cstdio> #include<cmath> #include<iostream> using namespace std; char str[12][10] = { "x^y^z", "x^z^y", "(x^y)^z", "(x^z)^y", "y^x^z", "y^z^x", "(y^x)^z", "(y^z)^x", "z^x^y", "z^y^x", "(z^x)^y", "(z^y)^x", }; long double x, y, z; long double mx, t; int pos; void judge(int x){ //printf("t = %llf\n", t); if(fabs(mx - t) <= 1e-6) return ; else if(mx < t){ pos = x; mx = t; } } int main(){ cin >> x >> y >> z; pos = 0; mx = pow(y, z)*log(x); t = pow(z, y)*log(x); judge(1); t = z*log(pow(x, y)); judge(2); t = y*log(pow(x, z)); judge(3); t = pow(x, z)*log(y); judge(4); t = pow(z, x)*log(y); judge(5); t = z*log(pow(y, x)); judge(6); t = x*log(pow(y, z)); judge(7); t = pow(x, y)*log(z); judge(8); t = pow(y, x)*log(z); judge(9); t = y*log(pow(z, x)); judge(10); t = x*log(pow(z, y)); judge(11); printf("%s\n", str[pos]); }
其实log()一个负数是可以解的
还记得当年大明湖畔的欧拉公式吗
eiπ = -1
因为e的i∏次方等于-1
所以log(-1) = i∏
所以负数迎刃而解
log(-2) = log(-1 * 2) = log(-1) + log(2)
那log(i)呢
根号-1等于i
所以log(i) = log( -1^(1/2) ) = 1/2 * log(-1) = 1/2 * i∏
那log(a + bi)
欧拉原公式写作
eix = cosx + isinx
那么
所以说嘛，年轻人就应该拿一本复变函数去看去(,,• ₃ •,,)
附上刚刚那题用复数计算的AC代码
现在知道了吧
complex类就是这么用的，而且log支持接收复数类，真是太神奇了(*ﾟ▽ﾟ*)
这篇文章写的我累死了π__π
