树链剖分原理

一、相关定义

树链剖分：把一棵树剖分为若干条链，然后利用数据结构(树状数组，SBT，Splay，线段树等等)去维护每一条链，复杂度为O(logn)。

树链剖分是解决在树上进行插点问线，插线问点等一系列树上的问题。

假如现在给你一棵树，然后每两条边之间有一个权值，有一些操作，1：x---y之间的最大权值是多少，2：改变x---y之间的权值

当前这样的操作有很多，如果直接用暴力的方法的话肯定不行，那么就要想一个好的方法，我们可以想一下能不能借助线段树解决，能不能想一种方法对树上的边进行编号，然后就变成区间了。那么我们就可以在线段树上进行操作了，树链剖分就是这样的一个算法。

当然编号不是简单的随便编号，如果我们进行随便的编号，然后建立一个线段树，如果要更新一个边的权值，是log2（n）的复杂度，而查找的话，我们要枚举x--y的之间的所有的边，假如我们随便以一个点为根节点进行编号，最大的长度是树的直径，这个值本身是比较大的，而在线段树上查找任意一个区间的复杂度也是log2（n），这样查找一次的时间复杂度比直接暴力还要高，所以很明显是不行的。

那么就要想想办法了，我们能不能把x--y之间的一些边一块儿查找，这就是关于树链剖分的重边和轻边，

重边：某个节点x到孩子节点形成的子树中节点数最多的点child之间的边，由定义发现除了叶子节点其他节点只有一条重边

重边是可以放在一块儿更新的，而有

性质：从根到某一点的路径上轻边、重边的个数都不大于logn。

所以这样查找的时间复杂度相当于log2（n）。

其实树链剖分就是把边哈希到线段树上的数据结构。

实现的话很简单，用两个dfs处理数数的信息，重边以及轻边，然后就是一些线段树的操作了。

 

二、算法描述

那么，树链剖分的第一步当然是对树进行轻重边的划分。

定义size(x)为以x为根的子树节点个数，令v为u的儿子中size值最大的节点，那么(u,v)就是重边，其余边为轻边。

当然，关于这个它有两个重要的性质：

(1)轻边(u,v)中，size(v)<=size(u/2)　　//有人纠错为size(v)<=size(u)/2

(2)从根到某一点的路径上，不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。

当然，剖分过程分为两次dfs，或者bfs也可以。

如果是两次dfs，那么第一次dfs就是找重边，也就是记录下所有的重边。然后第二次dfs就是连接重边形成重链，具体过程就是：以根节点为起点，沿着重边向下拓展，拉成重链，不在当前重链上的节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链。

剖分完毕后，每条重链相当于一段区间，然后用数据结构去维护，把所有重链首尾相接，放到数据结构上，然后维护整体。

在这里，当然有很多数组，现在我来分别介绍它们的作用：

siz[]数组，用来保存以x为根的子树节点个数

top[]数组，用来保存当前节点的所在链的顶端节点

son[]数组，用来保存重儿子

dep[]数组，用来保存当前节点的深度

fa[]数组，用来保存当前节点的父亲

tid[]数组，用来保存树中每个节点剖分后的新编号

rank[]数组，用来保存当前节点在线段树中的位置

那么，我们现在可以根据描述给出剖分的代码：

第一次dfs：记录所有的重边

void dfs1(int u,int father,int d)
{
    dep[u]=d;
    fa[u]=father;
    siz[u]=1;
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v!=father)
        {
            dfs1(v,u,d+1);
            siz[u]+=siz[v];
            if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]])
                son[u]=v;
        }
    }
}

第二次dfs：连重边成重链

void dfs2(int u,int tp)
{
    top[u]=tp;
    tid[u]=++tim;
    rank[tid[u]]=u;
    if(son[u]==-1) return;
    dfs2(son[u],tp);
    for(int i=head[u];~i;i=next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v!=son[u]&&v!=fa[u])
            dfs2(v,v);
    }
}

当然，由于题目有时候要求边很多，所以最好不要用二维数组表示边，应用邻接表或者链式前向星。

当然，这里面有一个重要的操作，那就是修改树中边权的值。

如何修改u到v的边权的值呢？这里有两种情况：

(1)如果u与v在同一条重链上，那么就直接修改了

(2)如果u与v不在同一条重链上，那么就一边进行修改，一边将u与v往同一条重链上靠，这样就变成了第一种情况了

那么现在的关键问题就是如何将u和v往同一条重链上靠？这个问题此处我就省略了。

至此，树链剖分原理基本分析完毕！

 

三、沙场练兵

spoj 375

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define Del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const int N = 10005;

int dep[N],siz[N],fa[N],id[N],son[N],val[N],top[N]; //top 最近的重链父节点
int num;
vector<int> v[N];
struct tree
{
    int x,y,val;
    void read(){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&val);
    }
};
tree e[N];
void dfs1(int u, int f, int d) {
    dep[u] = d;
    siz[u] = 1;
    son[u] = 0;
    fa[u] = f;
    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
        int ff = v[u][i];
        if (ff == f) continue;
        dfs1(ff, u, d + 1);
        siz[u] += siz[ff];
        if (siz[son[u]] < siz[ff])
            son[u] = ff;
    }
}
void dfs2(int u, int tp) {
    top[u] = tp;
    id[u] = ++num;
    if (son[u]) dfs2(son[u], tp);
    for (int i = 0; i < v[u].size(); i++) {
        int ff = v[u][i];
        if (ff == fa[u] || ff == son[u]) continue;
        dfs2(ff, ff);
    }
}
#define lson(x) ((x<<1))
#define rson(x) ((x<<1)+1)
struct Tree
{
    int l,r,val;
};
Tree tree[4*N];
void pushup(int x) {
    tree[x].val = max(tree[lson(x)].val, tree[rson(x)].val);
}

void build(int l,int r,int v)
{
    tree[v].l=l;
    tree[v].r=r;
    if(l==r)
    {
        tree[v].val = val[l];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,v*2);
    build(mid+1,r,v*2+1);
    pushup(v);
}
void update(int o,int v,int val)  //log(n)
{
    if(tree[o].l==tree[o].r)
    {
        tree[o].val = val;
        return ;
    }
    int mid = (tree[o].l+tree[o].r)/2;
    if(v<=mid)
        update(o*2,v,val);
    else
        update(o*2+1,v,val);
    pushup(o);
}
int query(int x,int l, int r)
{
    if (tree[x].l >= l && tree[x].r <= r) {
        return tree[x].val;
    }
    int mid = (tree[x].l + tree[x].r) / 2;
    int ans = 0;
    if (l <= mid) ans = max(ans, query(lson(x),l,r));
    if (r > mid) ans = max(ans, query(rson(x),l,r));
    return ans;
}

int Yougth(int u, int v) {
    int tp1 = top[u], tp2 = top[v];
    int ans = 0;
    while (tp1 != tp2) {
        //printf("YES\n");
        if (dep[tp1] < dep[tp2]) {
            swap(tp1, tp2);
            swap(u, v);
        }
        ans = max(query(1,id[tp1], id[u]), ans);
        u = fa[tp1];
        tp1 = top[u];
    }
    if (u == v) return ans;
    if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    ans = max(query(1,id[son[u]], id[v]), ans);
    return ans;
}
void Clear(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v[i].clear();
}
int main()
{
    //freopen("Input.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            e[i].read();
            v[e[i].x].push_back(e[i].y);
            v[e[i].y].push_back(e[i].x);
        }
        num = 0;
        dfs1(1,0,1);
        dfs2(1,1);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (dep[e[i].x] < dep[e[i].y]) swap(e[i].x, e[i].y);
            val[id[e[i].x]] = e[i].val;
        }
        build(1,num,1);
        char s[200];
        while(~scanf("%s",&s) && s[0]!='D')
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(s[0]=='Q')
                printf("%d\n",Yougth(x,y));
            if (s[0] == 'C')
                update(1,id[e[x].x],y);
        }
        Clear(n);
    }
    return 0;
}