【笔记】【图论】强连通、割点和桥

（1）一些定义：

1. 割点：若一个点删除后（与之相连的边统统去掉），无向图不再连通，那么此点称为割点。
2. 桥：若一条边断去后，无向图不再连通，那么此边称为桥。桥有一个很好的性质，就是DFS一个无向图，那么这个过程必定要经过桥
3. 1-连通图：具有割点的连通图。
4. 2-连通图：至少要去掉两个顶点及其相关联的边，才能使该图的连通分支增加。
5. 块：没有割点的无向图，称为2-连通分支，也称作块。
6. 强连通：一个环，或者多个环相套。则一个强连通中的任何点都可以互相到达

 

（2）求强连通块——算法思路

随手一个简单强连通，

1->2->3->1

思考程序如何才能让计算机模拟人的眼睛，判断出这是一个强连通，

因为是边的相连导致强连通块，所以肯定要按照边的连通情况，遍历图，

这里显然dfs比bfs更合适，所以我们按照1->2->3的顺序遍历

接下来到了3->1的边，这个边肯定有特征，让计算机确定这是一个强连通

我们发现：

1）1号点已经遍历过

2）这是一条回边

这样我们可以设一个dfn的量，保存每个点遍历时的时间前后

 

现在我们看我们找强连通是为了什么：

1）计算有几个强连通

2）把环去掉，叫做tarjan缩点

 

那么对于目的1）

我们的计数肯定是记每个强连通的结束的点，

就是最先遍历的那个点，

那这个点的特征（和别的点的区别）在哪呢？

答案是他没有回边，就是他的子节点遍历中，遇不到一个点的dfn比他早

那么我们可以找一个记录的量，先叫做t，

这个t应该是记录每个点子节点中dfn的最小值

（因为最高点的dfn最小，其他的都比他的dfn大，那么我们要记录的就是dfn的下限）

那么我们就把t改成low，好听，不易重名

 

思路就出来了，找没有遍历过的点遍历，

在3节点时，找能到达的点集合，如果有一个遍历过的点，那他的dfn一定小，

我们就更新3节点

为了让2,这种中间点的dfn也发生改变，那么在2->3之后，也要更新2的dfn

所以我们的结构就出来了

但是那些遍历过的点，可能是别的强连通分量中的，所以一个stack，每次找完弹出一个强连通

 

ps：

tarjan中单个点也算一个强连通

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
const int N=1e5+10;
vector <int > son[N];

int dfn[N],low[N];
int blocks,block_id;//blocks是连通块的数量 

bool insta[N];
stack <int > sta;

void tarjian(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++tot; //进入先记录
    sta.push(x),insta[x]=true;
    
    int sz = son[x].size();
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        int nx=son[x][i];
        if(!dfn[nx])
        {
            tarjian(nx);
            low[x]=min(low[x],low[nx]);
        }
        else if(insta[nx]) //如果这个点已经遍历过，且在sta中 => 是回边 => 会影响low 
        { 
            low[x]=min(low[x],low[nx]); 
        }
        //比如G：12341 加上边4->5 5->6 4->6
        //按照函数，操作4->6的时候，6访问过，但是不在栈中 
        //其实还是不清楚，如果没有判断insta，会出现什么情况 
    }
    
    if(low[x] == dfn[x] ) //说明x是此连通块的最高点，从栈中弹出所有 
    {
        //如果要统计点sta.top()归属哪个连通块 
        belong[x]=++block_id;
        
        while(sta.top()!=x) //弹出栈中所有点    
        {
            //如果要统计点sta.top()归属哪个连通块 
            belong[sta.top()]=block_id;
             
            insta[sta.top()]=false;
            sta.pop(); 
        }
        insta[x]=false;
        sta.pop();
        
        blocks++;
    }
}

int main()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjian(i);
    
    
    return 0;
} 

 

 

对于目的2）

看题！

poj2186 Popular Cows

告诉你有n头牛，m个崇拜关系，并且崇拜具有传递性，如果a崇拜b，b崇拜c，则a崇拜c，求最后有几头牛被所有牛崇拜。

缩点思路：将一个强连通分量->变成超级源点

这个超级源点，用fa表示，或者用新的sum=n,++sum也行

主要区别：

    if(dfn[u]==low[u])
    {
        color[u]=++sum;
        vis[u]=0;
        while(stack[top]!=u)
        {
            color[stack[top]]=sum;
            vis[stack[top--]]=0;
        }
        top--;
    }

注意，缩点之后的边要区分强连通内，和强连通外，

入度出度统计都要重新注意