最大公约数的两种求法

转自：http://blog.csdn.net/young_gy/article/details/46688511

最大公约数

定义

所谓最大公约数，即是两个正整数都可以整除的最大整数。

特性

最大公约数，是两个数共有的素因数乘积。 
例如： 
462 = 2*3*7*11 
1071=3*3*7*17 
所以，最大公约数为3*7=21

辗转相除法

辗转相除法首先出现在欧几里得的《几何原本》，在中国则可以追溯到东汉出现的《九章算术》。

其核心思想是：每次取两个数中最小的数和最大数除以最小数的余数，重复进行直到余数为0，这时两个数相等，为最大公约数。

举例如下： 
（200，160）-》（160，40）-》（40，0）-》40为最大公约数

图形化的描述如下图： 

求一个长方形的长和宽的最大公约数，就相当于在里面填上面积最大的小正方形，不断地辗转相除，最后得到可以划分长方形的最大正方形。

最大公约数的编程求解

迭代法

int gy(int a,int b){	int t,r;	if(a<b) t=a,a=b,b=t;	r=a%b;	while(r)	{		a=b;		b=r;		if(a<b) t=a,a=b,b=t;		r=a%b;	}	return b;}		   	
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以上肯定能达到终止条件，但是问题规模大的时候速度会很慢。

递归法

long gy(long n,long m)//递归求最大公约数 
{
	long temp;
	if(n<m) temp=n,n=m,m=temp;
	if(m==0)
		return n;
	else
		return gy(m,n%m);
}
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对以上代码做一下简要说明： 
1. 每次递归的内容是获得两个较小的数和大数除以小数的余数。分三种情况，一种是gcd(max,min)=gcd(min,max%min)正好符合情况；另一种是gcd(min,max) = gcd(max,min%max=min)正好转换到第一种情况，第三种两者相等不言。 
2. 递归的终止条件是余数为0，易证：无论如何，总会达到终止条件（两个素数的极限为1）