字符串相似度算法 递归与动态规划求解分析

1.概念

　　编辑距离，指的是两个字符串之间，由一个转换成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括：(1)将一个字符替换成另一个字符，(2)插入一个字符，(3)删除一个字符。

　　相似度，等于“编辑距离+1”的倒数。

2.分析

　　设有字符串a[0...n]，b[0...m]。

　　(1)当a[i]=b[j]时，说明这时候不需要编辑操作。编辑距离保持，即f(i,j)=f(i-1,j-1)

　　(2)当a[i]!=b[j]时，可以有三种编辑操作。

　　其中删除和插入操作，只对一个下标i或者j产生影响。如在下图中，当前匹配到(t1,t2)处，如果采用删除'g'，只改变t1的下标。

　　

 　　其中替换操作，会对2个下标都产生影响。如在下图中，当前匹配到(t1,t2)处，如果将'g'替换成'm'，则下次就需要执行(t1+1,t2+1)处。

     

 　　所以可以推导出下面就是递推公式。

　　

3.用递归求解代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char *a="abcgh";
char *b="aecdgh";
int min(int t1,int t2,int t3)   ///求三个数的最小值
{
    int min;
    min=t1<t2?t1:t2;
    min=min<t3?min:t3;
    return min;
}
int calculate(int i,int enda,int j,int endb)
{
    int t1,t2,t3;
    if(i>enda)  ///i指示超过a[]的范围时
    {
        if(j>endb)
            return 0;
        else
            return endb-j+1;
    }
    if(j>endb)  ///j指示超过b[]的范围时
    {
        if(i>enda)
            return 0;
        else
            return enda-i+1;
    }
    if(*(a+i) == *(b+j))    ///如果两个相等，则直接求下一个位置
        return calculate(i+1,enda,j+1,endb);
    else
    {
        t1=calculate(i+1,enda,j,endb);  ///删除a[i]或在b中插入a[i]
        t2=calculate(i,enda,j+1,endb);  ///删除b[j]或在a中插入b[j]
        t3=calculate(i+1,enda,j+1,endb);    ///替换
        return 1+min(t1,t2,t3);
    }
}
int main()
{
    int dis=calculate(0,strlen(a)-1,0,strlen(b)-1);
    printf("dis=%d",dis);
    return 1;
}

 4.用动态规划求解代码

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX 1000
int dp[MAX][MAX];   ///dp[i][j]表示当前a[0..i-1]与b[0..j-1]的编辑距离
char *a="agbgd";
char *b="ggd";

int min(int t1,int t2,int t3)   ///求三个数的最小值
{
    int min;
    min=t1<t2?t1:t2;
    min=min<t3?min:t3;
    return min;
}

int main()
{
    int i,j;
    int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(i=0;i<=lena;i++)   ///a作为行，当b为空串时
        dp[0][i]=i;
    for(i=0;i<=lenb;i++)   ///b作为列，当a为空串时
        dp[i][0]=i;

    for(i=1;i<=lena;i++)
    {
        for(j=1;j<=lenb;j++)
        {
            if(*(a+i)==*(b+j))  ///相等时
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
            else
                dp[i][j]=1+min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]); ///不相等时，取三种可能操作的最小数值+1
        }
    }
    printf("编辑距离为：dis=%d\n",dp[lena][lenb]);
    return ;
}

 类似有：  最长公共子序列求解：递归与动态规划方法