证明定理常用方法锦集

下面将证明定理的方法主要归纳为以下几种：

1)直接证明：通过证明当 p 为真时 q 必然为真而进行的对 p->q 的证明。

2)反证法：反证法是一种间接证明方法，利用条件语句 p->q 等价于它的倒置 ￢q->￢p 的事实，换句话说，就是通过证明 q 是假时 p 一定是假来证明 p->q 为真。当不容易找到直接证明时用反证会很有效。在反证中，要假设条件语句的结论为假，并使用直接证明法表明这意味着前提必为假。

3)归谬证明：归谬证明也是一种间接证明方法，假设我们想证明 p 是真的，假定可以找到矛盾式 q 使得 ￢p->q 为真，因为 q 是假的，￢p->q 为真，我们能够得出 ￢p 必然为假，这意味着 p 为真。这样我们的目标就变成了如何寻找矛盾式 q，以此来帮助我们证明 p 为真。因为无论 r 是什么命题，r ^ ￢r 都是矛盾式。也就是说，如果我们能够证明对某个命题 r，￢p->( r ^ ￢r ) 为真时，就能证明 p 是真的。这种类型的证明称为归谬证明。

归谬也能够用于证明条件语句。在这样的证明中，首先假设结论的否定。然后应用定理前提和结论否定得到一个矛盾式。因此可以把条件语句的反证改写成归谬证明。

4)穷举证明：通过检查一系列的所有情况所建立的结果得到的证明。

5)分情形证明：把情况分解为覆盖所有可能的单独情况的证明。一个穷举证明是分情形证明的特殊类型。

6)不失一般性：假定一个证明可以通过减少需要证明的情形来证明的一个法则。也就是通过证明定理的其中一种情况，其它的一系列情况通过简单的变化来论证。

7)反例：使得P(x)为假的元素x。

8)构造性的存在性证明：证明具有特定性质的元素存在，通过显示地方式来寻找这样的元素。

9)非构造性的存在性证明：证明具有特定性质的元素存在，但不是显示地寻找这样的元素。给出非构造性证明的一种普通方法是使用归谬证明。

10)唯一性证明：证明具有特定性质的元素唯一地存在。

此外，还有许多重要的证明方法有：数学归纳法、康托尔对角化方法、计数论证方法等。这里不做过多的阐述。

 

下面给出几个例题来对上述方法进行演练：

 

给出习题之前，先给出相关的几个定义：

整数 n 是偶数，如果存在一个整数 k 使得 n = 2k；整数 n 是奇数，如果存在一个整数 k 使得 n = 2k + 1。

若存在则整数 p 和 q（q≠0）使得 r = p / q，那么实数 r 是有理数。不是有理数的实数称为无理数。

若有一个整数 b，使得 a = b²，则整数 a 是一个完全平方数。

 

习题：

1、证明：若 n 是奇数，则 n² 是奇数。

2、证明：如果 m 和 n 都是完全平方数，那么 mn 也是一个完全平方数。

3、证明：两个有理数的和是有理数。

4、证明：如果 m+n 和 n+p 都是偶数，其中 m、n 和 p 都是整数，那么 m+p 也是偶数。

5、证明定理：若 3n+2 是奇数，则 n 是奇数。

6、证明：如果 n 是整数且 n² 是奇数，则 n 是奇数。

7、证明：如果 n=ab，其中 a 和 b 是正整数，那么 a≤√n 或者 b≤√n。

8、证明：如果 n 是完全平方，那么 n+2 不会是完全平方。

9、10、11、12、、、:-)

13、证明：若 x 是无理数，则 1/x 是无理数。

14、证明：在任意22天中至少有4天属于一个星期的同一天。

15、证明：√2是无理数。

16、证明：当 n 是一个正整数，且 n ≤ 4 时，(n+1)^3 ≥ 3^n。

17、证明：在100以内，连续的正整数是全幂数的只有8和9（全幂数是指它能写成 n^a，其中 a 是大于1的整数）。

18、证明：当 n 为整数时，有 n² ≥ n。

19、证明：任意一个完全平方数的最末位数字是：0、1、4、5、6或9。

20、证明：对于整数 x 、y，x² + 3y² = 8 没有解。

21、证明：(x + y)^r < x^r + y^r。这里 x 、y 是正实数，r 是 0<r<1 的实数。

 

每个问题的解决方法不是唯一地，可用方法有：

直接：1、2、3、4     反证：5、6、7、8、13    归谬：5、14、15    穷举：16、17    分情形：18、19、20    不失一般性：21

 

存在性证明：

构造性的存在性证明：

        证明存在某个正整数，可以用两种不同的方式将其表示为正整数的立方和。

        经过大量的计算，如使用计算机搜索，可找到 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³。因为1729满足题设要求，得证。

非构造性的存在性证明：

        证明存在无理数 x 和 y 使得 x^y 是有理数。

 

证明策略：

    前推与后推（回溯）：

    给定两个不同正实数 x 和 y，其算术平均值是 (x + y) / 2 ，其几何平均值是 √xy，证明算术平均值总是大于几何平均值。

 

    假定甲乙两人玩游戏，轮流从最初有15块的石头堆中每次取1、2或3块石头。取最后一块石头的人胜利。证明：无论乙如何取，先取的甲都能赢得游戏。

 

改造现有证明：根据√2是无理数的证明过程，推测√3是无理数（注：需要用到数论方面的知识）。

 

另：有关行动证明策略的几个问题

1、我们能用骨牌(一块长方形，由两个方格组成)填充标准棋盘(8x8)吗？

2、我们能用骨牌填充去一角/邻角/对角的标准棋盘吗？

 

相关术语的概念：

定理：可以证明为真的数学断言。

公理：常作为证明定理的基础，并假设为真的命题。

循环论证或偷用论题：一步或多个步骤基于待证命题的正确性的推理。

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