龙凤呈祥123

摘要： 问题 证明如下Cauchy矩阵正定$$A=\left(\frac{1}{a_{i}+a_{j}}\right)_{n\times n},a_{i}\neq a_{j}>0$$证明不难,由于他的各阶顺序主子式是可求的,容易验证均为正,从而$A$正定；另一方法是利用欧式空间一组基的度量矩阵必为正定的,... 阅读全文

摘要： 称行列式$$\det A=\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}$$为Cauchy行列式,我们来计算他：由于$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{1}{\pr... 阅读全文

摘要： 问题 设$f\in H(B(0,1)\cup\{1\})$,且$$f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1$$证明$f'(1)\geq0$.几何上来看是显然的,如下图$z=1$的邻域,也就是图中阴影部分一定不会发生旋转,及时旋转,旋转角必为$2k\pi$,否则无法保证$$f(B(... 阅读全文

摘要： 取$B(0,1)\setminus\{0\}$上的调和函数$\log|z|$,那么他不可能是$B(0,1)\setminus\{0\}$上某个全纯函数的实部.否则设$$f(z)=\log|z|+iu(z)\in H(B(0,1)\setminus\{0\})$$其中$u(z)$是实值的.那么$e^{... 阅读全文

摘要： 对于有限群$G$,我们有:如果其任意两个非空子集$A,B$,如果$$|A|+|B|>|G|$$则必有$G=AB$. 阅读全文

摘要： 群的阶数Abel群非Abel群1$\{1\}$2$\mathbb Z_{2}$3$\mathbb Z_{3}$4$\mathbb Z_{2}^{2},\mathbb Z_{4}$5$\mathbb Z_{5}$6$\mathbb Z_{6}$$S_{3}$7$\mathbb Z_{7}$8$\mat... 阅读全文

摘要： 1.设$R$是交换整环,$R[x]$是$R$上的一元多项式环,$f,g\in R[x]$.证明:$${\rm deg}f\cdot g={\rm deg}f+{\rm deg}g$$试问对于一般的交换幺环,上式是否成立?证明 设$f=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^n,g(x... 阅读全文

摘要： 问题：求字母$"A"$的基本群.解答 "A"的两条腿可以形变收缩成$\triangle$,他和圆周同胚,因此其基本群便是整数加群$\mathbb Z$.类似的显然Mobius带收缩时中心圆是其腰圆,显然其基本群也是$\mathbb Z$ 阅读全文

摘要： 设$z_{1},\cdots,z_{N}\in\mathbb C$,证明存在$\{1,2,\cdots,N\}$的子集$S$使得$$\left|\sum_{k\in S}z_{k}\right|\geq\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}.|$$证明 设$z_{k}=... 阅读全文

摘要： 1.试问一个域$\mathbb F$的分式域是什么?解答 由于$\mathbb F$的分式域是包含他的最小的域,而$\mathbb F$本身已是域,所以说$\mathbb F$的分式域就是自己.2.证明Gsuss整数环$\mathbb Z[\sqrt{-1}]$是交换整环,并求其分式域?证明 由... 阅读全文