摘要：
问题 证明如下Cauchy矩阵正定A=(1ai+aj)n×n,ai≠aj>0证明不难,由于他的各阶顺序主子式是可求的,容易验证均为正,从而A正定；另一方法是利用欧式空间一组基的度量矩阵必为正定的,... 阅读全文
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称行列式det为Cauchy行列式,我们来计算他：由于$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{1}{\pr... 阅读全文
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问题 设f\in H(B(0,1)\cup\{1\}),且f(B(0,1))\subset B(0,1),f(1)=1证明f'(1)\geq0.几何上来看是显然的,如下图z=1的邻域,也就是图中阴影部分一定不会发生旋转,及时旋转,旋转角必为2k\pi,否则无法保证$$f(B(... 阅读全文
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取B(0,1)\setminus\{0\}上的调和函数\log|z|,那么他不可能是B(0,1)\setminus\{0\}上某个全纯函数的实部.否则设f(z)=\log|z|+iu(z)\in H(B(0,1)\setminus\{0\})其中u(z)是实值的.那么$e^{... 阅读全文
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群的阶数Abel群非Abel群1\{1\}2\mathbb Z_{2}3\mathbb Z_{3}4\mathbb Z_{2}^{2},\mathbb Z_{4}5\mathbb Z_{5}6\mathbb Z_{6}S_{3}7\mathbb Z_{7}8$\mat... 阅读全文
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1.设R是交换整环,R[x]是R上的一元多项式环,f,g\in R[x].证明:{\rm deg}f\cdot g={\rm deg}f+{\rm deg}g试问对于一般的交换幺环,上式是否成立?证明 设$f=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^n,g(x... 阅读全文
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问题：求字母"A"的基本群.解答 "A"的两条腿可以形变收缩成\triangle,他和圆周同胚,因此其基本群便是整数加群\mathbb Z.类似的显然Mobius带收缩时中心圆是其腰圆,显然其基本群也是\mathbb Z 阅读全文
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设z_{1},\cdots,z_{N}\in\mathbb C,证明存在\{1,2,\cdots,N\}的子集S使得\left|\sum_{k\in S}z_{k}\right|\geq\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}.|证明 设$z_{k}=... 阅读全文
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1.试问一个域\mathbb F的分式域是什么?解答 由于\mathbb F的分式域是包含他的最小的域,而\mathbb F本身已是域,所以说\mathbb F的分式域就是自己.2.证明Gsuss整数环\mathbb Z[\sqrt{-1}]是交换整环,并求其分式域?证明 由... 阅读全文
