【论文：麦克风阵列增强】An Algorithm For Linearly Constrained Adaptive Array Processing
作者：桂。
时间：2017-06-03 15:06:37
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6937635.html
原文链接：http://pan.baidu.com/s/1pKOYuiJ
前言
本文的算法就是在阵列信号增强中非常经典的Frost's Algorithm。上个世纪70年代的技术了，梳理一下该算法的思路。
一、理论框架
首先交代理论模型。噪声为加性噪声：
X为带噪信号，L为理想信号，N为噪声信号，目的是希望利用一组滤波器，实现特定信号的增强（Enhancement）.
假设有M个麦克风，对应滤波器的抽头系数为J：
写成向量的形式就是：
MVDR通常是按频点处理，以对第k个频点的处理为例：滤波信号可以表示为
其实框架就是Delay and sum，不同的是权重W不再是均分分布，而是通过最小方差找出最优组合，这就定义了准则函数：
这是一个约束问题，可以借助拉格朗日乘子法求解：
从而得出理想的输出：
例如希望减少noise的时候，原信号保持不变：
这样完成了理论框架的搭建：模型建立→准则函数定义→目标参数求解。
接下来就是落地的问题，即如何将理论模型与实际的工程应用结合起来？
二、实现思路
A-初步实现
首先是Rxx，它应该是一个先验知识priori:
它是随机信号的均值，实际应用中通常是不知道的，我们只有观测信号。因此通常时间换空间，在平稳遍历的基础上用R = 1/T （XXT）来近似表达，这样一来实际的W就可以求解，从而完成了理论的落地。
B-改进思路
这样的R通常是较大的，W的求解涉及到矩阵求逆的问题，运算速度较慢。最优解的求解，一般有最小二乘和梯度下降两个思路。矩阵求逆通常对应最小二乘思路，直接得出最优解，考虑到运算速度，一个直观的思路就是：利用梯度下降的思想。而对于均方意义下的准则函数，梯度是无法求解的，但基于遍历性的假设，可以利用不同时刻的样本进行近似梯度求解，这也就是自适应滤波的思路。梯度下降从样本量的角度来讲，有两个基本思路：随机梯度下降、批量梯度下降，这里以随机梯度下降为例（SGD）.梯度下降从下降方式来讲，又有很多分支：一阶梯度下降、二阶梯度下降（Newton-Rapson）等。对于含有约束条件的梯度下降，常用的思路是：投影梯度下降法。文中利用拉格朗日乘子法将含约束的问题转化为无约束问题：
对应的梯度下降：
其中λ为：
从而梯度下降改写为
这样一来只有关于C的求逆，这是可以事先求解并固定不变的。定义：
迭代形式简化为
给出完成的梯度下降法思路（初始化+迭代）：
至此，速度问题也得以优化，完成了整个MVDR的落地工作。注意到一点：μ作为迭代步长，需要人为给定。给的合适，收敛较好;给的不理想，收敛太慢甚至发散。
C-迭代步长μ的选取
细节不罗列了，需要说明的是分析是基于随机过程的均值。实际LMS应用中的μ并不完全与它吻合。
首先考虑平稳噪声的场景，需要满足：
其次考虑非平稳噪声的场景，需要满足：
具体推导看原文吧，实际应用中由于场景不同，μ的设定更多的依靠工程经验，这个单靠理论是行不通的。
参考
- Frost, Otis Lamont. "An algorithm for linearly constrained adaptive array processing." Proceedings of the IEEE 60.8 (1972): 926-935.
