自适应滤波：梯度下降算法
作者：桂。
时间：2017-04-01 06:39:15
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【学习笔记07】
前言
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第四章：最速下降算法。优化求解按照有/无约束分类：如投影梯度下降算法（(Gradient projection）便是有约束的优化求解；按照一阶二阶分类：梯度下降（Gradient descent）、Newton法等；按照偏导存在与否分类：如梯度下降、次梯度下降（Subgradient descent）等.本文主要整理：梯度下降法在维纳滤波中的应用.
一、原理思想
对于准则函数：
需要寻找最优解$w_o$，使它对所有$w$满足$J(w_o) \le J(w)$。可以利用迭代下降的思路求解：
从初始值$w(0)$出发， 产生一系列权向量$w(1)$，$w(2)$...，使得准则函数每一次迭代都是下降的：$J(w(n+1)) < J(w(n))$，其中$w(n)$是权向量的过去值，$w(n+1)$是更新值。
定义梯度：
$g = \nabla J\left( w \right) = \frac{{\partial J\left( w \right)}}{{\partial w}}$
负梯度方向为减小方向：
$w(n + 1) = w(n) - \mu \cdot g(n)$
为了说明准则函数随着迭代下降，从一阶泰勒展开可以观察：
二、应用实例
仍然借助维纳滤波一文的例子：
已知：
含有噪声的正弦波：$y(n) = x(n) + w(n) = \sin (2\pi fn + \theta ) + w(n)$.
其中$f = 0.2$为归一化频率[-1/2, 1/2]，$\theta$为正弦波相位，服从[0,2$\pi$]的均匀分布，$w(n)$为具有零均值和方差$\sigma^2 = 2$的高斯白噪声。
求：
时域维纳滤波器。假设滤波器为时域滤波器时$M=2$.
首先求解相关矩阵：
$x(n)$为广义平稳随机过程，可以计算其自相关函数：
${r_{xx}}\left( m \right) = \cos (2\pi fn)$
得到关于均方误差的准则函数：
代入数值：
迭代的时候，可以保留矩阵的形式，也可以利用代数的形式，形式不同但本质相同，以矩阵为例：
得到梯度$\nabla J = - 2{\bf{r}}_{yd}^{ - 1} + 2\;{{\bf{R}}_{yy}}{\bf{h}}$.
对应搜索代码：
r_yd = [0.5 0.154]';
R_yy = [2.5 0.154;0.154 2.5];
h_est = [0 0]';
deltaJold = Inf;
mu = 0.001;
for i = 1:2000
deltaJ = -2*r_yd+2*R_yy*h_est;
if abs(deltaJ-deltaJold)<1e-5
break;
end
h_est = h_est - mu*deltaJ
deltaJold = deltaJ;
end
即可得出最优解$h = [0.197 ， 0.0495]'$。
三、稳定性
上文中$\mu$取0.001，$\mu$如何取值才能保证梯度正常下降呢？事实上，如果$\mu$过大结果会往外发散而不是收敛于最优点。
借助维纳滤波一文可以知道，
${w_o} = \;{\bf{R}}_{_{yy}}^{ - 1}{\bf{r}}_{yd}^ - $
从而有：
记$c(n) = w_o - w(n)$:
$c(n + 1) = c(n)\left( {{\bf{I}} - 2\mu {{\bf{R}}_{yy}}} \right)$
对于正定矩阵，存在正交矩阵：
${{\bf{R}}_{yy}} = {\bf{Q\Lambda }}{{\bf{Q}}^{ - 1}}$
即${\bf{I}} - 2\mu {{\bf{R}}_{yy}}{\rm{ = }}{\bf{Q}}\left( {{\bf{I}} - 2\mu {\bf{\Lambda }}} \right){{\bf{Q}}^{ - 1}}$，为此保证最大特征值小于1即可保证收敛：
如对应上面$h$的求解，$\frac{1}{{{\lambda _{\max }}}}= 0.3768$，用上面的程序容易验证$\mu = 0.37$时满足条件，可以收敛；$\mu = 0.38$则发散，无法得到最优值。
四、理论扩展
如果沿着曲线直接寻优，我们称为：精确直线搜索。如计算：
：
这是就是$\Delta x$与$x$固定后，该问题就是$t$的函数，易求解。但实际情况中，准则函数并不总是这么理想，因此借助近似的思路去寻优，成了一种更普适的方式，梯度下降法、牛顿法都是基于该思路。
这里给出一个更简单的例子$y = kx$的拟合问题，其中$k$未知。
首先给出结果图：
100组随机试验，未添加噪声。
给出code：
N = 100;
a = zeros(1,N);
mu =0.002;
flag = 2;
for k = 1:N
xold = linspace(-10,10,60);
nums = randperm(length(xold));
x = xold(nums);
y = 3*x +2*randn(1,length(x));
switch flag
case 1
a_est = 0;
batch = 10;
for i=1:batch:length(x)
a_est = a_est+mu*(x(i:i+batch-1)*(y(i:i+batch-1)-a_est*x(i:i+batch-1)).');
end
case 2
a_est = 0;
batch = 1;
for i=1:batch:length(x)
a_est = a_est+mu*(x(i:i+batch-1)*(y(i:i+batch-1)-a_est*x(i:i+batch-1)).');
end
end
a(k) = a_est;
end
对于相关矩阵：来自统计均方误差，但实际应用中通常无法得知概率分布以及相关矩阵，通常是基于遍历性假设，以便利用时间换取空间。即：
${{\bf{R}}_{yy}} \approx \frac{{{{\bf{y}}^T}{\bf{y}}}}{N}$
与之对应的统计误差也不再是均方意义上，假设时间换空间的序列长$N$:
简单来说：当$N$较大时，对应的梯度下降称之为——批量（Batch）梯度下降，当$N=1$即每次来一个样本，对应称之为——随机梯度下降。
通过上面的小程序可以得出两点结论：
- 初始值
- 迭代步长
- 特征尺寸（一维无此问题）
二者都对寻优产生影响。事实上对于高维数据，不同特征尺寸不同，对寻优也有影响，通常需要分别对特征进行归一化。
A-批量梯度下降
仍然以线性回归为例：
这里$x_0 = 1$，给出准则函数，便于求导通常添加$1/2$:
求偏导：
从而：
可以写为：
迭代至满足收敛条件即可求解。
B-随机梯度下降
对应批量梯度下降，当$m = 1$即一次只接受/处理一个样本，对应为随机梯度下降。
事实上，当引入噪声时，时间换空间只能是一种近似，即批量/随机梯度下降的最优解，通常不是维纳滤波的最优解。基于随机梯度的最小均方误差（Least mean square,LMS）通常称为LMS算法，以示与梯度下降的区别。
C-Newton-Raphson法
梯度下降法基于一阶近似，如果二阶逼近收敛是否会更快一些？即寻找梯度的梯度——走一步想两步。
再次给出梯度下降的一阶Taylor近似：
$f\left( {{\bf{x}} + \Delta {\bf{x}}} \right) \approx f\left( {\bf{x}} \right) + {\left( {\nabla f\left( {\bf{x}} \right)} \right)^T} \cdot \Delta {\bf{x}}$
给出二阶Taylor近似：
${\nabla ^2}f\left( {\bf{x}} \right)$对应的矩阵称为Hessian矩阵，该方法成为牛顿法（Newton），也称Newton-Raphson法。
对于点$x_k$，选择下降方向：
参考：
- Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.
- Philipos C.Loizou《speech enhancement theory and practice》.
- 张贤达《矩阵分析与应用》.
