自适应滤波——线性预测（LPC）
作者：桂。
时间：2017-03-26 10:12:07
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6621914.html
【读书笔记05】
前言
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第三章，线性预测是Wiener Filter的应用，作为信号识别的特征以及信号编码的一种实现途径。本想着跳过这一章，但想着每一章多少记录一下，直到看到Kalman Filter，也就写写吧。主要包括：
1）前向线性预测原理；
2）线性预测应用实例；
内容为自己的学习笔记，如有不当之处，希望各位帮忙指出！
一、前向线性预测原理
以语音信号为例，声道模型的一种观点是：级联结构的共振峰模型。即：对于一般元音，可以用全极点模型，传输函数：
$H\left( z \right) = \frac{G}{{1 - \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}{z^{ - k}}} }}$
G为幅值因子，p为极点个数。
这里仅仅讨论全极点模型。对于输出$x(n)$和激励$u(n)$有差分方程：
$x\left( n \right) = \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}x\left( {n - i} \right) + Gu\left( n \right)}$
称系统
$\hat x\left( n \right) = \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}x\left( {n - i} \right)} $
为线性预测器。$\hat x\left( n \right)$是$x(n)$的估算值。$a_i$为预测系数(Linear Prediction Coefficient, LPC)，$p$为对应阶数。
对应单点预测误差：
$e(n) = x(n) - \hat x\left( n \right) = x(n) - \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}x\left( {n - i} \right)} $
预测误差：
$\sum\limits_n {{e^2}(n)} = \sum\limits_n {{{\left[ {x(n) - \sum\limits_{i = 1}^p {{a_i}x\left( {n - i} \right)} } \right]}^2}} $
对$a_i$求偏导即可实现求解，得出的方程组通常称为Yule-Walker方程。
二、应用实例
利用预测系数估计逼近系统响应$H$，可以用该系数表征语音的特性，也可以用逼近的$H$观察声道特性，同样可以进行共振峰提取，这些都可以看作说话人的特征。
给出代码：
clear all; clc; close all;
filedir=[]; % 设置数据文件的路径
filename='a.wav'; % 设置数据文件的名称
fle=[filedir filename] % 构成路径和文件名的字符串
[x,fs]=wavread(fle); % 读入语音数据
L=240; % 帧长
p=30; % LPC的阶数
y=x(8001:8000+L); % 取一帧数据
ar=lpc(y,p); % 线性预测变换
nfft=512; % FFT变换长度
W2=nfft/2;
m=1:W2+1; % 正频率部分下标值
Y=fft(y,nfft); % 计算信号y的FFT频谱
Y1=lpcar2ff(ar,W2-1); % 计算预测系数的频谱
% 作图
subplot 311; plot(y,'k');
title('一帧语音信号的波形'); ylabel('幅值'); xlabel('(a)')
subplot 312;
plot(m,20*log10(abs(Y(m))),'k','linewidth',1.5);
line(m,20*log10(abs(Y1)),'color','r','linewidth',2)
axis([0 W2+1 -30 25]); ylabel('幅值/db');
legend('FFT频谱','LPC谱',3); xlabel(['样点' 10 '(b)'])
title('FFT频谱和LPC谱的比较 p=4');
subplot 313;
plot(m,20*log10(abs(Y(m))),'k','linewidth',1.5);
line(m,20*log10(abs(Y1)),'color','r','linewidth',2)
axis([0 W2+1 -30 25]); ylabel('幅值/db');
legend('FFT频谱','LPC谱',3); xlabel(['样点' 10 '(c)'])
title('FFT频谱和LPC谱的比较 p=30');
对应结果图：
可以看出，信号的频谱由慢变化分量调制高频信号，对应时域就是卷积，而声道模型对应卷积的$h(n)$，p选择过小估计不准，选择过大容易过拟合，这么看来lpc说是预测其实本质也是拟合的问题，同样有Over-fitting. 得到LPC谱之后，可以利用峰值查找等方式，进行共振峰估计。
参考：
- Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.
- 宋知用：《MATLAB在语音信号分析和合成中的应用》.
