信号处理——曲线拟合与分布拟合
作者：桂。
时间：2017-03-11 06:45:46
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6533840.html
声明：欢迎转载，不过记得注明出处哦~
前言
数据拟合中，最常用的两个就是曲线拟合（curve fitting）与分布拟合（distribution fitting），不求面面俱到，只希望串出一个思路，篇目如下：
2）生成给定分布随机数；
3）曲线拟合：
单个曲线拟合：高斯曲线、拉普拉斯/瑞利/对数正态 曲线
混合曲线：多直线的EM拟合
4）分布拟合；
单分布拟合：正态/拉普拉斯/对数高斯/瑞利 分布
混合分布拟合：GMM（混合高斯）、LMM（混合拉普拉斯）
内容为自己的学习整理，其中借鉴他人的地方，最后一并给出链接。
一、常用分布
本文仅介绍几种自己日常使用的分布，并以Normal distribution为例交代推导过程及代码实现，其他可类推。
关于以下几种分布随机数的产生方法，戳这里会略有一二，并附有对应的代码实现。
以下四种分布的拟合推导、代码实现，参考这里。
A-瑞利分布(Rayleigh distribution)
表达式：
$f(x) = \frac{x}{{{\sigma ^2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
其中$\sigma > 0$，
B-正态分布（Normal distribution）
表达式：
$f(x) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{(x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
C-对数正态分布（Log-Normal distribution）
表达式：
$f(x) = \frac{1}{{x\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{(\ln x - \mu )}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
D-拉普拉斯分布（Laplace distribution）
$f(x) = \frac{1}{{2b}}{e^{ - \frac{{\left| {x - \mu } \right|}}{b}}}$
具体细节，可点击如下链接：
- Rayleigh distribution：wikipedia.
- Normal distribution:wikipedia.
- Log-normal distribution:wikipedia.
- Laplace distribution:wikipedia.
二、曲线拟合
A-问题描述
根据随机过程一文的分析可知，曲线拟合解决的问题是：确定函数+随机噪声，拟合出确定函数的表达式。
给出示意图：
曲线分布即针对信号A进行拟合。
B-原理推导
1-闲话小叙
此处用到最小二乘拟合的方法，关于该方法此处简单提一下。
假设有测量点{$x_1,y_1$}和{$x_2,y_2$}，且x、y之间有线性关系，尽管测量存在误差，我们仍然可以近似得出：
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + b{y_1} + c = 0\\
{x_2} + b{y_2} + c = 0
\end{array} \right.$
这是二元二次方程，容易求解。现在问题是，测量点远大于2个，此处以5个为例：
如果理想情况，我们任取两个方程，即可求解。现实情况是：测量不可避免地带来误差。每组的解都不同，如何解决求值问题？天文学家梅耶给的办法是：将方程分两组，分别叠加，这样就转化成了两个方程，进而求解，拉普拉斯也给出了类似的方法。
但都没有跳出直接解方程的思路，是勒让德重新认识了该问题：从全局误差的角度，将线性方程组变成了正则方差组。剑锋一转，确定性问题立刻变为随机过程的统计问题。
表达式重新定义：（其中${{\varepsilon _i}}$为对应的误差）
于是上面的问题便有了新的准则函数：
针对J求解即可，常用的有矩阵求逆、准则函数求偏导的方式。
更多的细节，可以参考：《数理统计学简史》第四章，陈希孺。
2-回归正题
以高斯曲线拟合为例，利用最小二乘准则：
分别对准则函数求偏导，得出参数估计。
对应拟合结果图：
本文主要分析拟合原理，对应的推导与代码，限于篇幅，拟在另一篇文章中给出。
实际上，如果仅仅是应用，对于高斯分布、拉普拉斯分布等对称分布，可以利用：
- 统计均值 = 分布的均值;
- 统计数值的峰值 = 分布的峰值；
这样一来，分布的拟合基本就剩一个参数，直接求解更加方便。
三、分布拟合
A-问题描述
分布拟合解决的问题是：随机过程，拟合处随机过程的统计特性。
分布拟合，即针对信号B进行拟合。注意：是信号B，而不是信号B的直方图（不过二者可以转化，另一篇文章将会给出二者的转化关系）。
B-原理推导
统计分布的拟合，此处给出的例子主要借助最大似然估计的方法。
1-闲话小叙
我们假设某随机过程具有遍历性（什么是遍历性？就像一周有7天，我们每天都经历，具体可参考另一篇博文），以下分析基于遍历性假设。
先来看一张图，对随机信号进行统计拟合：
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE），(对于概率密度估计，MLE只是方法之一，其他有基于histogram估计，kernel density estimation等等，具体可以google,关键词:histogram/probability density estimation/KDE等)
补充：有朋友问到直方图如何与概率分布绘制在同一张图里，这涉及到：直方图归一化。
2-回归正题
以正态分布为例，假设各观察变量服从独立同分布的假设，概率密度函数记为$f(x)$，对观测数据{$x_1, x_2, x_3,... x_N$}，得到联合概率密度：
$L = f({x_1})f({x_2})...f({x_N})$
正态分布中，需要估计的参数有{$\mu ,\delta $}；推而广之，假设概率密度函数$f(x)$的参数集合记为$\theta $，概率密度函数$f(x)$标准写法应为$f(x；\theta)$，联合概率密度函数:
$L\left( \theta \right) = f({x_1};\theta )f({x_2};\theta )...f({x_N};\theta )$
由于高斯分布中含有指数，通常对$L\left( \theta \right)$进行取对数：
$J\left( \theta \right) = \ln L\left( \theta \right) = \ln f({x_1};\theta ) + \ln f({x_2};\theta ) + ... + \ln f({x_N};\theta )$
具体原理推导及代码实现，参考另一篇文章。
四、最大似然与最小二乘
最大似然与最小二乘存在着内在的联系，此处论述纯粹是一家之言，严谨与否不予保证。（更多信息，可以参考：最小二乘、Ridge回归、Lasso回归与概率分布的关系）
给出数学模型（以多项式拟合为例，N次拟合，共M组样本点）：
最小二乘准则函数：
最大似然准则：
假设误差均服从(0,$\delta^2$)的正态分布，则有似然函数：
求对数之后，最大似然准则函数等价于：
二者等价。
五、曲线拟合与分布拟合
A-工具箱使用
MATLAB有cftool、dfittool两个指令，分别对应曲线拟合与分布拟合，可调用。
B-二者转化关系
曲线—>分布：可以借助给定曲线，生成满足指定分布的随机数，从而曲线拟合转化为分布拟合问题；
分布—>曲线：参数估计法：单个模型拟合、混合模型拟合都属于此类，利用分布得到概率特性； 非参法：经典的有Parzen、Kn近邻等估计方式，本质上都是利用统计信息，或者说借助直方图，不再展开叙述。
