2013 Multi-University Training Contest 5 Partition

思路：五边形数定理！！！

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{k(3k\pm 1)/2}.

亦即

(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k

其中p(k)为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1

考虑x^n项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0

因此可得到分割函数p(n)的递归式

p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots

以n=10为例

p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42

这就是所求的了，当n<0时，p(n)=0;

p(n)的其他性质：

当限定将n表示成刚好k个正整数之和时，可以表示为p_k(n)。显然，p(n) = \sum_{k=1}^{n} p_k(n)。

 

代码如下：

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<iomanip>
 5 #include<cmath>
 6 #include<string>
 7 #include<vector>
 8 #define ll __int64
 9 #define pi acos(-1.0)
10 #define MAX 100001
11 using namespace std;
12 const int mod=1000000007;
13 int an[MAX],n,t;
14 void init(){
15     int i,j;
16     an[0]=an[1]=1;
17     an[2]=2;an[3]=3;an[4]=5;
18     an[5]=7;
19     for(i=6;i<MAX;i++){
20         an[i]=0;
21         for(j=1;;j++){
22             int g=j*(3*j-1)/2;
23             if(i-g<0) break;
24             if(j&1) an[i]+=an[i-g];
25             else an[i]-=an[i-g];
26             an[i]=an[i]%mod;
27             while(an[i]<0) an[i]+=mod;
28             g=j*(3*j+1)/2;
29             if(i-g<0) break;
30             if(j&1) an[i]+=an[i-g];
31             else an[i]-=an[i-g];
32             an[i]=an[i]%mod;
33             while(an[i]<0) an[i]+=mod;
34         }
35         an[i]%=mod;
36     }
37 }
38 int main(){
39     init();
40     scanf("%d",&t);
41     while(t--){
42         scanf("%d",&n);
43         printf("%d\n",an[n]);
44     }
45     return 0;
46 }
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posted @ 2013-08-07 09:42  _随心所欲_  阅读(422)  评论(0)  编辑  收藏  举报