概率论中, 泊松分布和指数分布的通俗理解

泊松分布，要明白：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式。

二项分布：已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从二项分布。

泊松分布式某段连续的时间内事情发生的次数。事情发生的时间是可以忽略的。关注的是事件的发生。泊松分布是离散的变量。 
这段时间是确定大小的，不是说某两件事件（不知何时发生）的间隔。

把连续的时间分割层无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，事情可能发生也可能不发生，因此这就是一个p很小的二项分布。连续的时间分成无数小份，也就意味着n很大，即：泊松分布是二项分布的一种极限形式。(这句话很重要, 这就是理解为什么泊松分布是二项分布的一种极限情况的通俗理解)

此外，二项分布是最简单的发生于不发生的分布，那么与此关系密切的泊松分布自然在生活中很常见也可以理解了。

泊松分布中的lambda意义就是：一个时间段内时间平均发生的次数。

 

 

指数分布是两件事情发生的平均间隔时间，时间是连续变量。

看一道例子： 
一机器在任何长为t的时间内出故障的次数是N(t)服从参数为lambda(意义为平均发生的次数)的泊松分布。 
1）求两次相邻故障之间的时间间隔T的分布。

(1)中, 需要注解一下:

　　FT(t>0) = P{T<=t} = 1-P{T>t} = 1- P{N(t)=0}

 

      P{T<=t}表示发生故障的时间间隔的分布函数

      P{T<=t}=1-P{T>t}这个是根据概率的公式定义来的

     　　　　　　　　 反向理解, P{T>t}相对的就表示在t时间内机器没有发生故障

      因此, P{T>t} = P{N(t)=0} 这个式子的意思是说, 没有发生故障的概率. 那么N(t)显然就等于0了, 也就是泊松分布中的k就取0了, 即一次故障也没有发生.