判断区域B是否在区域A内部的快速算法

在图像分析中，经常需要判断图像分割所得到的区域之间的关系。通常情况，我们通过八邻接外轮廓（准确说法是扩展边缘，但这样又得费半天口舌解释什么是扩展边缘）来描述一个区域并对区域进行标注，如：

 

很容易判断两个区域是否相邻（扫描区域的内外边缘像素，如果相邻的像素具有不同的标注值，则为邻居），却较难判断一个区域是否在另一个区域的内部。

如上图中，通过相邻像素的标注值的不同，可以得出A和B互为邻居，A和C互为邻居，却很难知道B和C中，哪个是在A的内部。下面设计算法进行判断。

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如果B在A的内部，则B的外轮廓上的每个点在A的外轮廓的内部或边缘上；如此一来，问题就简化为判断点是否在多边形的边缘或内部。

判断点是否在多边形内部有一个很经典的算法：从该点向任意一方画射线，数该射线与多边形的边的交点数量，如果为奇数则在多边形内部，如果为偶数则在多边形的外部。

这个算法有两个特例：

（1）射线和多边形的边重合（下图a，b）

（2）射线经过多边形的顶点（下图c，d）

显然，（a）应该算0个交点 ，（b）应该算1个交点，（c）应该算0个交点，（d）应该算1个交点。

总体上来说，这个算法要考虑到几种特殊情况，还是比较繁琐的。下面，针对本文的应用来简化该算法。

数字图像是离散的，通过边界跟踪可以得到全部的轮廓点。

上图是一个轮廓及待判断点。从该点向X轴画一个射线，与9个轮廓点相交。如果将轮廓的任意两个相邻点的连线作为多边形的一边的话，很不幸，全部交点都是特殊情况。这里假定轮廓点的排列是有序的，也就是说，是有方向的，只考察轮廓点和它一前一后两个轮廓点之间的关系，则有下面几类情况：

这里对经典的点在多边形内部判断算法进行变形：

（1）如果经过A类中的中间点，则算为 0.5 或 –0.5 个交点；

（2）如果经过B类的中间点，算作1个或-1个交点；

（3）如果经过C类的中间点，算作0个交点。

计算结果——如果交点数加起来是奇数，则点在轮廓的内部，否则在外部。为了避免浮点计算，将交点个数乘于2，即A类的算1个或-1个交点，B类的算2个或-2个交点，C类的算0个交点。交点总数是4的倍数则在轮廓外部，否则，则在内部。

为什么是1个或-1个，2个或-2个呢？这里有方向问题。假设箭头是从下向上的，为-1，箭头是从上往下的，算1，如果箭头是水平的，算0.  这样计算的话，则上图中A类的2种情况分别为1个、1个交点，B类的2种情况分别为2个、-2个交点，C类的2种情况全为0. 如此以来，完全满足前面点在多变形内部的经典算法对几种特殊情况的处理。

为每一个轮廓点赋予一个分值Score，这个分值只与它（Current）和前后两点（Prev，Next）有关，和其它任何点无关。因此，这个分值是静态的，不变化的。我们可以把它计算出来缓存在散列表中。

private void ComputeExtendContourPointXScoreDic()
{
    List<Point> points = this.ExtendContourPoints;
    if (points.Count < 3) return;
    int count = points.Count;
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        Point current = points[i];
        Point prev = points[(i + count - 1) % count];
        Point next = points[(i + 1) % count];
        int score = current.Y < prev.Y ? 1 : current.Y > prev.Y ? -1 : 0;
        score += next.Y < current.Y ? 1 : next.Y > current.Y ? -1 : 0;
        _extendContourPointXScoreDic[current.GetHashCode32()] = score;
    }
}

更进一步，score = prev.Y – next.Y:

private void ComputeExtendContourPointXScoreDic()
{
    List<Point> points = this.ExtendContourPoints;
    if (points.Count < 3) return;
    int count = points.Count;
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        _extendContourPointXScoreDic[points[i].GetHashCode32()] = points[(i + count - 1) % count].Y - points[(i + 1) % count].Y;
    }
}

_extendContourPointXScoreDic 是一个散列表，储存了轮廓点的Score。因为一般的图像不会特别大，我为Point添加了一个扩展方法GetHashCode32()来获得散列值：

public static int GetHashCode32(this Point p)
{
    return p.Y * Int16.MaxValue + p.X;
}

这个散列表还有一个用途——如果某点的散列值在散列表内，则该点在外轮廓上。

判断点是否在轮廓的内部，只需要向左或向右扫描即可。比较向左和向右的扫描长度，选择最短的扫描路线，将扫描所经过的轮廓点的散列值加起来，就是交点数量。该交点数量如果是4的倍数，则代表点在轮廓外，否则，则在轮廓内。

在扫描的过程中，向左移一点或向右移一点，对应的点的散列值减1或加1，因此，可以省掉移动的过程，用散列值的变化来表示移动。这样又可以加速计算。如果已知A、B两个区域的 Rectangle，可以先判断，如果B的Rectangle不在A的Rectangle内部，则B一定不在A的内部。这样也可以节省不少计算。

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参考资料：Udi Manber. 算法引论——一种创造性方法.  http://www.china-pub.com/26775 P.189。