编程之美 2.2 不要被阶乘吓倒

第一题：求N！末尾有多少个0.

解题思路：通过判断阶乘中每一个数包含的2和5的个数，取其中更小的那个数即为末尾0的个数。

               更进一步观察发现，2的个数肯定比5的个数多，所以，只需要求5的个数。。。

第二题：求N！的二进制表示中最低位1的位置。

解题思路：其实，就是求阶乘结果中2的个数+1。

上述两题都转化为求N！的质因数的个数，

一种简单的思路就是循环获得小于等于N的每一个数所包含的质因数x的个数，最终得到的总数即为所求。

第二种方法是：N！中要得到包含某个数k的个数，其实相当于[N/k] +[N/k²] +[N/k³] +[N/k⁴] +...。

原理：首先，[N/k]等于1,2,3,...,N中能被k整除的数的个数，这是因为连续的整数中，每k个数中只会有一个能够整除k，所以1,2,3,...,N中就相当于划分了[N/k]个区域，每个区域只有一个数可以整除k，所以N！中含有k的个数即为[N/k];

然后，[N/k²]相当于1,2,3,...,N中能被k²整除的数的个数,但是这些数肯定是能够整除k的数的子集，所以本来应该是+2*[N/k²],现在就是+[N/k²]了。

依次类推，得到结论。

实现代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

int FactorialTrailZero(int n){
    int count = 0;
    int i, j;
    for(i = 1; i <= n; ++i){
        j = i;
        while(j % 5 == 0){
            ++count;
            j /= 5;
        }
    }
    return count;
}

int LowestOne(int n){
    int pos = 0;
    int i, j;
    for(i = 1; i <= n; ++i){
        j = i;
        while(j % 2 == 0){
            pos++;
            j >>= 1;
        }
    }
    return pos + 1;
}

int LowestOneV2(int n){
    int pos = 0;
    while(n){
        n >>= 1;        
        pos += n;
    }
    return pos + 1;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    cout << FactorialTrailZero(n) << endl;
    cout << LowestOne(n) << endl;
    cout << LowestOneV2(n) << endl;
    return 1;
}