剑指Offer面试题：7.斐波那契数列

一 题目：斐波那契数列

题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

二 效率很低的解法

　　很多C/C++/C#/Java语言教科书在讲述递归函数的时候，大多都会用Fibonacci作为例子，因此我们会对这种解法烂熟于心

#include "stdio.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int Fibs(int n)
{
    if (0 == n)
    {
        return 0;
    }
    else if (1 == n)
    {
        return 1;
    }
   return Fibs(n-1) + Fibs(n-2);
}

void main()
{
    cout << "斐波那契数列：" << endl;
    cout <<Fibs(0)<<" ";
    cout <<Fibs(1)<<" ";
    cout <<Fibs(2)<<" ";
    cout <<Fibs(3)<<" ";
    cout <<Fibs(4)<<" ";
    cout <<Fibs(5)<<" ";
    cout <<Fibs(6)<<" ";
    cout <<Fibs(7)<<" ";
    cout <<Fibs(8)<<" " << endl;
    return;
}

　　上述递归的解法有很严重的效率问题，通过求解第10项的调用过程图来分析：

　　

　　从上图中不难发现：在这棵树中有很多结点是重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加，这意味计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。

三 时间复杂度为O(n)的解法

　　改进的方法并不复杂。上述递归代码之所以慢是因为重复的计算太多，我们只要想办法避免重复计算就行了。这里的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

#include "stdio.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int Fibs(int n)
{
    int nFibs = 0;
    if (0 == n)
    {
        return 0;
    }
    else if(1 == n)
    {
        return 1;
    }
    int nSubOne = 1;  // Fibs(n-1)
    int nSubTwo = 0;  // Fibs(n-2)
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
    {
        nFibs = nSubOne + nSubTwo;
        nSubTwo = nSubOne;
        nSubOne = nFibs;
    }

    return nFibs;
}

void main()
{
    cout << "斐波那契数列：" << endl;
    cout <<Fibs(0)<<" ";
    cout <<Fibs(1)<<" ";
    cout <<Fibs(2)<<" ";
    cout <<Fibs(3)<<" ";
    cout <<Fibs(4)<<" ";
    cout <<Fibs(5)<<" ";
    cout <<Fibs(6)<<" ";
    cout <<Fibs(7)<<" ";
    cout <<Fibs(8)<<" " << endl;
    return;
}