新技能get——斜率优化

好久没写博客了……我终于回来了……

dp总是令我很头疼的问题之一，然而我还是要学一下怎么优化它。

下面请看一道题吧：

[bzoj3675][Apio2014]序列分割

试题描述

小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为N的非负整数序列分割成k+l个非空的子序列。为了得到k+l个子序列，小H将重复进行七次以下的步骤：

1．小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列一一也就是一开始得到的整个序列）；

2．选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案，使得k轮（次）之后，小H的总得分最大。

输入

输入文件的第一行包含两个整数n和尼(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1，n2…．，an(0≤ai≤10^4)，表示一开始小H得到的序列。

输出

一行包含一个整数，为小H可以得到的最大得分。

输入示例

7 3
4 1 3 4 0 2 3

输出示例

108

样例解释

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

数据范围

100%数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

题解

直至把这题A了也不明白“小H将重复进行七次以下的步骤”，为啥是七次以下，所以打了个删除线，希望读者不要多虑。

设F(i, j)表示考虑序列前i个元素，操作了j次的最大得分。

可得转移：F(i, j) = max{ f(k, j - 1) + sum[k] · (sum[i] - sum[k]) | 1 ≤ k < i }，sum[i]表示序列第i位的前缀和。

但是这个玩意是O(n²·k)的，太慢了，受不了，于是需要斜率优化。

并且，为了省空间，我们开一个滚动数组，令f(i)表示状态F(i, j)中j为当前操作步数时的方案数（即f(i) = F(i, j)），g(i)表示状态F(i, j)中j为当前操作步数减1时的方案数（即g(i) = F(i, j - 1)）。那么f(i) = max{ g(j) + sum[j] * (sum[i] - sum[j]) | 1 ≤ j < i }

假设上一次操作在位置j发生的方案比在位置k发生的方案更优且j > k，则有g(j) + sum[j] · (sum[i] - sum[j]) > g(k) + sum[k] · (sum[i] - sum[k])最后可推出(g(j) - g(k) + sum[k]² - sum[j]²) / (sum[k] - sum[j]) < sum[i] （注意sum[k] - sum[j] < 0，移项时要变号）注意到sum[i]是单调不降的，所以我们可以用一个单调队列维护变号q[1~n]，使得 q[i] < q[i+1] 且 g(q[i+1])比g(q[i])更优。令slop(j, k) = (g(j) - g(k) + sum[k]² - sum[j]²) / (sum[k] - sum[j]) < sum[i]，则当slop(i, q[r]) < slop(q[r], q[r-1])时，q[r]已经没必要存在了。

证明：设q[r]在处理到位置k时被加进队列中，

　　那么显然k < i

　　因为g(q[r])比g(q[r-1])更优，所以slop(q[r], q[r-1]) < sum[k]

又sum[i]单调递增，所以

　　slop(i, q[r]) < slop(q[r], q[r-1]) < sum[k] < sum[i]

注意到slop(i, q[r]) < sum[i]，所以i一定比q[r]更优，把q[r]抛弃掉。

马丹这题要开long long，搞得我半天没有调过去……

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

const int BufferSize = 1 << 16;
char buffer[BufferSize], *Head, *tail;
inline char Getchar() {
    if(Head == tail) {
        int l = fread(buffer, 1, BufferSize, stdin);
        tail = (Head = buffer) + l;
    }
    return *Head++;
}
int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = Getchar();
    while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = Getchar(); }
    while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = Getchar(); }
    return x * f;
}

#define maxn 100010
#define LL long long
int n, K, l, r, q[maxn], cur;
LL f[maxn][2], sum[maxn];

double sqr(int x) { return (double)x * x; }
double slop(int j, int k) {
    return (f[j][cur^1] - f[k][cur^1] + sqr(sum[k]) - sqr(sum[j])) / (double)(sum[k] - sum[j]);
}

int main() {
    n = read(); K = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i-1] + read();
    
    int t = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(sum[i] != sum[i+1]) sum[++t] = sum[i];
    n = t;
    for(int j = 1; j <= K; j++) {
        cur ^= 1;
        l = 1; r = 0;
        for(int i = j; i <= n; i++) {
            while(l < r && slop(q[l+1], q[l]) < (double)sum[i]) l++;
            f[i][cur] = f[q[l]][cur^1] + sum[q[l]] * (sum[i] - sum[q[l]]);
            while(l < r && slop(i, q[r]) < slop(q[r], q[r-1])) r--;
            q[++r] = i;
        }
    }
    
    printf("%lld\n", f[n][cur]);
    
    return 0;
}