支持无限精度无限大数的类BigNumber实现

Posted on 2015-07-03 23:17 Xiangism 阅读(13436) 评论(10) 编辑收藏举报

介绍

本篇是MathAssist的第二篇,在前言中粗略地展示了MathAssist的“计算和证明”能力，本篇开始将详细介绍其实现原理。从计算开始说起，要实现任意大数的计算器首先得有一个类支持大数运算，于是本篇介绍BigNumber的实现。

一般编程语言提供的数字类型都是基于cpu位数来实现，这样做是为了在基础类型上保证运算速度。想当年本人刚开始学vb6(也是刚开始学程序)时，

想用这个圆周率公式来精确到小数点后上万位，可结果好像是在小数点后7、8位就无法再精确了。稍微想下就可明白原因——所使用的float类型本身就只提供小数点后几位的精确度，而用它所计算出来的结果怎么可能精确到很多呢?
既然编程语言提供的类型无法实现无限精度，那么可以自定义一个类型来实现之。其关键思想就是用数组来存储大数每位上的数，比如用List<int> （这里不严谨地将Lite<T>称为数组）。比如123456789这个数，可以将其放在数组中，数组元素分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9。然后再实现算法来完成加、减、乘、除运算即可。

BigNumber概要

BigNumber的属性很简单:

List<int> IntPart; //整数部分
List<int> DecimalPart; //小数部分
bool IsPlus; //是否是正数
BigNumber AbsoluteNumber; //返回绝对值
BigNumber ReverseNumber; //返回相反数

上面说过可以在数组元素中每个元素存储一位，不过细想一下，数组元素类型是int，最大是2147483647，可以存储多位数。这样存储后不仅可以大大节约程序的内存空间，也节约提高了运算速度。

故提供一个静态只读变量 int OneCount 来表示一个数组元素中存储数的位数。为了方便调试现在暂时设置为 4。

看一个简单的例子:

如果用如下的代码实例化一个BigNumber

BigNumber num1 = new BigNumber("13579.02468");

那么其IntPart为1, 3579，其DecimalPart为246, 8000。

也就是说从小数点开始，整数部分从右往左每4个一组，小数部分从左往右每4个一组。上面的246其实应该是0246，而用int表示的0246和246是一样的。而8000不能用8表示，如果是8的话，那么表示的就是13579.02460008这个数了。

BigNumber还实现了接口IComparable，这样用CompareTo()即可比较两个BigNumber的大小。

从字符串中识别出BigNumber

其实就是一个很简单的状态机，首先看首字符是否为 - +

如果为-，那么这个数为负数，跳到4
如果为+, 那么这个数为正数，跳到4
如果为数字，那么这个数为正数，跳到4
扫描所有数字直到遇到 . 将扫描到的所有数字分组后存储在IntPart中
扫描所有数字直到结尾，将扫描到的所有数字分组后存储在DeciamlPart中

具体代码在IdentifyNumber.cs中.

注意不支持首字符是小数点的写法，即".14159"是非法格式。

加、减、乘、除的实现

加、减、乘、除的实现本质上就是模拟人工用笔算，考查的是对for, if和数组的驾驶能力。下面将讲解核心点以及需要注意的地方，具体的代码细节不在此赘述，有兴趣的朋友可以再交流。后面提供源码，以供参考。

加、减法的实现

考虑到正、负号，加减法各有4种情况，分别如下

正数加正数、正数加负数、负数加正数、负数加负数
正数减正数、正数减负数、负数减正数、负数减负数

而减法又要考虑两数的大小。

不过用绝对值和相反数进行变换后，上面的情况其实可以划归为两种：正数加正数、较大数减较小数。

比如负数加负数，可以先将两负数取绝对值后变成正数加正数，得到的结果指定为负数即可；正数减负数，其实就是正数加正数。具体代码在BigCalculate.Add(), BigCalculate.Minus()中。

而正数加正数、较大数减较小数，先计算小数部分、再计算整数部分，注意进位、对齐等问题即可。现在一个数组元素中存储一个四位数，那个当和为10000时才要需要进位。代码在BigCalculate.PlusAdd(), BigCalculate.PLusMinus()中。

乘法的实现

乘法在笔算中会先忽略小数点，所以先要将BigNumber转化为List<int>，然后对两个List<int>进行相乘。BigCalculate.Multiply(List<int> one, List<int> two)函数实现。

具体的算法就是在双重for循环中依次对两个数组中的元素进行相乘，注意进位的问题即可。

除法的实现

除法由于可以无限的试商、无限除，所以默认情况下会取除数、被除数最大的精度为结果的精度。具体代码在BigCalculate.Division(List<int> one, List<int> two)

如下看一下四则运算的实际运行结果

static void TestBaseCal1() {
    BigNumber num1 = new BigNumber("112233445566778899.02468");
    BigNumber num2 = new BigNumber("123456789.13579");
    BigNumber r1 = num1 + num2;
    BigNumber r2 = num1 - num2;
    BigNumber r3 = num1 * num2;
    BigNumber r4 = num1 / num2;

    Console.WriteLine(num1.ToString() + " + " + num2.ToString() + " = " + r1.ToString());
    Console.WriteLine(num1.ToString() + " - " + num2.ToString() + " = " + r2.ToString());
    Console.WriteLine(num1.ToString() + " * " + num2.ToString() + " = " + r3.ToString());
    Console.WriteLine(num1.ToString() + " / " + num2.ToString() + " = " + r4.ToString());
}

将生成如下的结果

112233445566778899.02468000 + 123456789.13579000 = 112233445690235688.16047000
112233445566778899.02468000 - 123456789.13579000 = 112233445443322109.88889000
112233445566778899.02468000 * 123456789.13579000 = 13855980823320987520055131.2510812972000000
112233445566778899.02468000 / 123456789.13579000 = 909090916.36372823

分数次幂运算的实现

因为

c^a.b=c^a_* c^0.b

上面的a.b表示123.456这样的小数，其中a=123,b=456。也就是说，分数可分成整数部分和小数部分，整数次幂即对数进行整数次自乘，所以关键是实现(0,1)之间的小数次幂，而开平方运算是小数次幂的基础。

开平方运算

先讲解如何笔算来实现开方。

以13开方为例，如图是计算的过程：

先定义几个变量: n表示表示要计算的数，x表示一次尝试时的商，d表示余数，r表示计算结果。
其中r=36055；n第一次是13，第二次是400；x是每次计算时的3,6,0,5,5；d是4，4
下面我们一步步来看如何进行开方运算:

第一步直接试x*x < n，可以得到x=4,余数d=n-x*x=4

r	20r	n	x	d
0	0	13	3	4

然后将x=3添加到r中，将d=4后面加两个0赋值给n，得到如下

r	20r	n	x	d
3	60	400

这时用(20r+x)*x<n，来尝试新的x，于是得到x=6,用d=n-(20r+x)*x来算d，得到d=4,于是

r	20r	n	x	d
3	60	400	6	4

将x=6添加到r，得r=36，将d=4后面加两个0赋值给n，得到如下

r	20r	n	x	d
36	720	400

如此循环，即可达到任意精度，最后再在适当位置加上小数点即可。

下面简单讨论下上面这样做的原理。上面第一次试商后，可以列出下面的等式，

(10r+x)²=100r²+(20r+x)*x

现在也就是要求最大的x，所以就必须要满足 (20r+x)*x < n，使x的值尽可能的大。

如果数组元素中一次存储4数，那么上面的等式应该是

(1000r+x)²=1000000r²+(2000r+x)*x

所以试商时就应该使(2000r+x)*x最大化。

还是那句话，详细代码、每个for, if在什么情况下跳转不在此具体细说，代码在DecimalPowerCalculator.Sqrt();

小数次幂的实现

开方运算实际上就是1/2次幂，将其结果再开方就可得1/4次幂，1/8，1/16，1/32次幂……

现在要做的就是用 1/2ⁿ这样的数来表示(0,1)之间的任意数。

先看一个引子：根据等比数列求和公式，

1/2, 1/4, 1/8, 1/16，所有这样的数相加结果等于1。因为a1=1/2, q=1/2，n无穷大时q^n=0，所以sn=1

既然所有的1/2ⁿ的和为1，那么当要表示一个小于1的数时，是不是就可以从1/2ⁿ中取出部分数来表示??

下面即将来到本篇最精彩的部分~~~~

想到这个办法，本人是从这个例子《二进制数的妙用》中得到的启发，也就是在二进制数的帮助下实现。整数可以表示成二进制，小数同时也有对应的二进制表示。

比如0.3的二进制就是 (0.0[1001])_2，其中中括号中表示循环，也就0.01001100110011001....

而二进制的0.1对应十进制的1/2,

二进制的0.01对应1/4,

二进制的0.001对应1/8

……

如此，只要将小数表示成二进制，然后取对应位上有1的部分表示成1/2ⁿ即可。

代码在DeciamlPowerCalculator.Power(BigNumber value, BigNumber pow, int precision)中。

小数二进制的转化，就是不断乘2的过程，如果结果大于1，那么就增加一个1，在这里就是要执行一个开2ⁿ次的运算。这就是while(true) {}循环所做的事。

示例代码

 1 static void TestSqrt()
 2 {
 3     BigNumber num1 = new BigNumber("2.1");
 4     BigNumber r1 = num1.Power(new BigNumber("0.5"), 30);
 5 
 6     BigNumber a1 = new BigNumber("2.1");
 7     BigNumber a2 = new BigNumber("3.2");
 8     BigNumber r2 = a1.Power(a2);
 9 
10     Console.WriteLine("sqrt " + num1.ToString() + " = " + r1.ToString());
11     Console.WriteLine("pow " + a1.ToString() + ", " + a2.ToString() + " = " + r2.ToString());
12 
13 }

程序输出

sqrt 2.1000 = 1.4491376746189438573718664157169771723140
pow 2.1000, 3.2000 = 10.74241038

用windows自带计算器计算2.1^3.2 结果为 10.742410477394706348894189127936

可以看出BigNumber所计算出来的结果有偏差。因为上面十进制到二进制的转化是一个无限的过程，计算时指定的精度越高，结果才会越精确。如果用下面的代码

BigNumber r2 = a1.Power(a2, 20);

将会得到这个值 10.74241047739470634889418906995290312487247243501184203826786422147158331781971904

可以发现更精确了。当指定更高精度时

BigNumber r2 = a1.Power(a2, 50);

在等待几秒种后，得到下面的结果，可以发现与windows计算器的结果一样了。

10.74241047739470634889418912793594027312904293501813528013
44316317300323173144011738455572486083328381540406651346840698674394856848366339
1163623786324109576722452826633389343718013335156981992425148434

不足之处

如果上面所示，BigNumber.Power()第二个参数所指定的精度是结果小数点所保留的长度，其显示出来的后面的值是不完全正确的，可以进行一个判断，对结果进行截取，只取正确的数值。不过本人不想再捣腾这些代码了，于是就这样吧。

sin, cos, exp的实现

有了上面的四则运算和幂运算后，实现sin,cos,exp就非常容易了。关键是四个字:泰勒公式。

由于过了四年，本人还是看代码才想起来是这样实现。现在看来当时这么做完全是想表示下自己学过高等数学。

公式如下:

只要n取得足够大，就可以满足任意所需的精度。具体代码在TaylorFunction.cs

示例代码

static void TestTay()
{
    BigNumber num1 = new BigNumber("3.14159265358939");
    BigNumber s = TaylorFunction.Sine(num1, 10);
    BigNumber c = TaylorFunction.Cosine(num1, 10);
    BigNumber ePi = TaylorFunction.Exp(num1, 10);

    Console.WriteLine("sin " + num1.ToString() + " = " + s.ToString());
    Console.WriteLine("cos " + num1.ToString() + " = " + c.ToString());
    Console.WriteLine("exp " + num1.ToString() + " = " + ePi.ToString());
}

程序输出

sin 3.1415926535893900 = 0.0000000000004032384642235390642455540857
cos 3.1415926535893900 = -0.9999999999999999999999258414185768854889
exp 3.1415926535893900 = 23.1406926327699377884050942516470550152418

至此BigNumber介绍完毕。下面提供下载路径:

exe程序BigNumberExe

源码项目 BigNumber

接下来的文章将介绍在BigNumber的基础上实现的计算器程序，到时可直接输入形式 234.23423+exp(PI) 的字符串程序即可得到结果。

敬请期待~~

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