区间dp入门

 

所谓区间dp,顾名思义就是在一段区间上的动态规划。它既要满足dp问题的最优子结构和无后效性外,还应该符合在区间上操作的特点。我的理解是往往会对区间进行合并操作。抑或是单个元素(可看成一个小区间)跨区间进行操作。例如括号匹配问题,石子合并问题(通过多次的相邻合并,最后实质上会产生跨区间的合并,如果你把其中的石子看作参考系的话就很容易感觉出来),还有在整数中插入运算符号的问题(利用运算符的优先级以及交换律可看出)

这样以来,如果我们要得知一个大区间的情况,由于它必定是由从多个长度不一的小区间转移而来(转移情况未知),我们可以通过求得多个小区间的情况,从而合并信息,得到大区间。

对于一个长度为n的区间,确定它的子区间需要首尾两个指针,显然子区间数量级为n2,那区间dp的复杂度也就为n2

操作的模板

1     for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度
2         for (int i = 0, j = len; j <= n; i++, j++) { //始末
3             //检查是否匹配(非必须)
4             for (int s = i; s < j; s++) {
5                 //update
6             }
7         }
8     }
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石子合并问题

 1 #include <cstdio>
 2 #define min(x, y) (x > y ? y : x)
 3 #define INF 0x3f3f3f3f
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn = 210;
 7 int dp[maxn][maxn];
 8 int sum[maxn];
 9 int a[maxn];
10 
11 int main(int argc, const char * argv[]) {
12     
13     int n;
14     while (~scanf("%d", &n)) {
15         for (int i = 1; i <= n; i++) {
16             scanf("%d", &a[i]);
17             sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
18         }
19         for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度
20             for (int i = 1, j = len + 1; j <= n; i++, j++) { //始末
21                 //检查是否匹配(非必须)
22                 dp[i][j] = INF;
23                 for (int s = i; s < j; s++) {
24                     dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][s] + dp[s + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
25                 }
26             }
27         }
28         printf("%d\n", dp[1][n]);
29     }
30     return 0;
31 }
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括号匹配

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn = 105;
 7 char str[maxn];
 8 int dp[maxn][maxn];
 9 
10 bool ck(int i, int j) {
11     if ((str[i] == '(' && str[j] == ')') || (str[i] == '[' && str[j] == ']')) {
12         return true;
13     } else {
14         return false;
15     }
16 }
17 
18 int main(int argc, const char * argv[]) {
19     while (~scanf("%s", str)) {
20         if (str[0] == 'e') break;
21         
22         int len;
23         len = strlen(str);
24         memset(dp, 0, sizeof(dp));
25         for (int l = 1; l < len; l++) {  //len =  j - i 为当前区间长度
26             for (int i = 0, j = l; j < len; i++, j++) { // i++, j++
27                 if (ck(i, j)) { // 匹配
28                     dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
29                 }
30                 // 讨论区间合并情况,求最大值
31                 for (int pos = i; pos < j; pos++) {
32                     dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][pos] + dp[pos + 1][j]);
33                 }
34             }
35         }
36         printf("%d\n", dp[0][len - 1]);
37         
38     }
39     return 0;
40 }
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整数划分

 

 

四边形不等式优化优化以后再学

 

posted @ 2017-07-17 10:26  xFANx  阅读(6303)  评论(0编辑  收藏  举报