区间dp入门
所谓区间dp,顾名思义就是在一段区间上的动态规划。它既要满足dp问题的最优子结构和无后效性外,还应该符合在区间上操作的特点。我的理解是往往会对区间进行合并操作。抑或是单个元素(可看成一个小区间)跨区间进行操作。例如括号匹配问题,石子合并问题(通过多次的相邻合并,最后实质上会产生跨区间的合并,如果你把其中的石子看作参考系的话就很容易感觉出来),还有在整数中插入运算符号的问题(利用运算符的优先级以及交换律可看出)
这样以来,如果我们要得知一个大区间的情况,由于它必定是由从多个长度不一的小区间转移而来(转移情况未知),我们可以通过求得多个小区间的情况,从而合并信息,得到大区间。
对于一个长度为n的区间,确定它的子区间需要首尾两个指针,显然子区间数量级为n2,那区间dp的复杂度也就为n2
操作的模板
1 for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度 2 for (int i = 0, j = len; j <= n; i++, j++) { //始末 3 //检查是否匹配(非必须) 4 for (int s = i; s < j; s++) { 5 //update 6 } 7 } 8 }
1 #include <cstdio> 2 #define min(x, y) (x > y ? y : x) 3 #define INF 0x3f3f3f3f 4 using namespace std; 5 6 const int maxn = 210; 7 int dp[maxn][maxn]; 8 int sum[maxn]; 9 int a[maxn]; 10 11 int main(int argc, const char * argv[]) { 12 13 int n; 14 while (~scanf("%d", &n)) { 15 for (int i = 1; i <= n; i++) { 16 scanf("%d", &a[i]); 17 sum[i] = sum[i - 1] + a[i]; 18 } 19 for (int len = 1; len < n; len++) { //操作区间的长度 20 for (int i = 1, j = len + 1; j <= n; i++, j++) { //始末 21 //检查是否匹配(非必须) 22 dp[i][j] = INF; 23 for (int s = i; s < j; s++) { 24 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][s] + dp[s + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]); 25 } 26 } 27 } 28 printf("%d\n", dp[1][n]); 29 } 30 return 0; 31 }
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 6 const int maxn = 105; 7 char str[maxn]; 8 int dp[maxn][maxn]; 9 10 bool ck(int i, int j) { 11 if ((str[i] == '(' && str[j] == ')') || (str[i] == '[' && str[j] == ']')) { 12 return true; 13 } else { 14 return false; 15 } 16 } 17 18 int main(int argc, const char * argv[]) { 19 while (~scanf("%s", str)) { 20 if (str[0] == 'e') break; 21 22 int len; 23 len = strlen(str); 24 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 25 for (int l = 1; l < len; l++) { //len = j - i 为当前区间长度 26 for (int i = 0, j = l; j < len; i++, j++) { // i++, j++ 27 if (ck(i, j)) { // 匹配 28 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 29 } 30 // 讨论区间合并情况,求最大值 31 for (int pos = i; pos < j; pos++) { 32 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][pos] + dp[pos + 1][j]); 33 } 34 } 35 } 36 printf("%d\n", dp[0][len - 1]); 37 38 } 39 return 0; 40 }
四边形不等式优化优化以后再学