关于Beta分布、二项分布与Dirichlet分布、多项分布的关系

    在机器学习领域中，概率模型是一个常用的利器。用它来对问题进行建模，有几点好处：1）当给定参数分布的假设空间后，可以通过很严格的数学推导，得到模型的似然分布，这样模型可以有很好的概率解释；2）可以利用现有的EM算法或者Variational method来学习。通常为了方便推导参数的后验分布，会假设参数的先验分布是似然的某个共轭分布，这样后验分布和先验分布具有相同的形式，这对于建模过程中的数学推导可以大大的简化，保证最后的形式是tractable。

    在概率模型中，Dirichlet这个词出现的频率非常的高。初始机器学习的同学或者说得再广一些，在学习概率模型的时候，很多同学都不清楚为啥一个表现形式如此奇怪的分布Dirichlet分布会出现在我们的教科书中，它是靠啥关系攀上了多项分布（Multinomial distribution）这个亲戚的，以至于它可以“堂而皇之”地扼杀我大天朝这么多数学家和科学家梦想的？为了引出背后这层关系，我们需要先介绍一个概念——共轭先验（Conjugate Prior）。

• Conjugate Prior: In Bayesian probability theory, if the posterior distributions p(θ|x) are in the same family as the prior probability distribution p(θ), the prior and posterior are then called conjugate distributions, and the prior is called a conjugate prior for the likelihood. ----from wiki
• 用中文来讲，在贝叶斯统计理论中，如果某个随机变量Θ的后验概率 p(θ|x)和气先验概率p(θ)属于同一个分布簇的，那么称p(θ|x)和p(θ)为共轭分布，同时，也称p(θ)为似然函数p(x|θ)的共轭先验。

    介绍了这个重要的概念之后，我们回到文章的正题。首先需要弄清楚什么是二项分布（Binomial distribution）。这个概念是从伯努利分布推进的。伯努利分布是一个离散型的随机分布，其中的随机变量只有两类取值，非正即负{+，-}。二项分布即重复n次的伯努利试验，记为 X~b(n,p)。概率密度函数（概率质量函数）为P(K=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}。再来看看Beta分布，给定参数\alpha>0和\beta>0，取值范围为[0,1]的随机变量x的概率密度函数f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}，其中\frac{1}{B(\alpha,\beta)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}，\Gamma(z)=\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt。这里假定，先验分布和似然概率如下所示：

p(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}

p(y|x)=\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}

那么很容易知道后验概率为

p(x|y)=\frac{1}{B(\alpha+k,\beta+n-k)}x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta+n-k-1}

     弄清楚了Beta分布和二项分布之间的关系后，对于接下来的Dirichlet 分布和多项分布（Multinomial distribution）的关系理解将会有非常大的帮助。多项分布，从字面上所表现出的含义，我们也大抵知道它的意思。它本身确实也是这样的，其单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的，而是有多种离散值可能（1,2,3...,k），其中\sum_{i=1}^k{p_i}=1,p_i>0 。多项分布的概率密度函数为P(x_1,x_2,...,x_k;n,p_1,p_2,...,p_k)=\frac{n!}{x_1!\cdot\cdot\cdot x_k!}p_1^{x_1}\cdot\cdot\cdot p_k^{x_k}。而Dirichlet分布的的密度函数形式也如出一辙：f(x_1,x_2,...,x_k;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}，其中B(\alpha)=\frac{\prod_{i=1}^k\Gamma(\alpha^i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^k{\alpha^i})},\sum{x_i}=1。到这里，我们可以看到Beta分布和Dirichlet 分布有多相似啊，二项分布和多项分布有多相似啊！

     再一次来看看共轭。假设x=(x_1,x_2,...,x_k)有先验分布

p(x;\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)=\frac{1}{B(\alpha)}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i-1}}

，

另有似然函数

p(y|x)=\frac{n!}{n_1!\cdot\cdot\cdot n_k!}x_1^{n_1}\cdot\cdot\cdot x_k^{n_k}，

则后验概率

p(x|y)=\frac{1}{Z}\prod_{i=1}^k{x_i^{\alpha^i+n_i-1}}

，和Dirichlet 分布形式一致。

    其实，细心的读者已经发现，这里这四类分布，如果但从数学形式上看，它们的组织形式都是一致的，都是通过乘积的形式构成，加上先验分布、似然函数和后言分布之间的乘积推导关系，可以很容易发现，它们所表现出的共轭性质很容易理解。