中国剩余定理学习笔记

用于求解线性同余方程组 ，找到一个特解 \(X_0\)，使得

\[X_0 \equiv b_i \pmod{ p_i} \]

假设我们已经找到了满足前 \(i-1\) 个方程的一个特解 \(X_0\)，再令 \(Lcm_i\) 表示前 \(i\) 个 \(p_i\) 的 \(lcm\)，那么显然通解可以写成

\[X=X_0+k \cdot Lcm_{i-1} \]

考虑合并下一个方程，即需找到一个新的特解 \(X_0'\)，满足

\[\begin{align*} X_0'&=X_0+k \cdot Lcm_{i-1}\\ &=m\cdot p_i+b_i \end{align*} \]

移项得到

\[Lcm_{i-1}\cdot k - p_i \cdot m=b_i-x_0 \]

Exgcd 即可