解答《编程之美》1.18问题1：给所有未标识方块标注有地雷概率

　　对于《编程之美》上没有提供答案和提示的1.18和4.11两节，本文将综合网络上已有的部分资料，深入挖掘解题思路，并对目前尚未找到满意答案的1.18节问题2给出算法解答。阅读本文需要了解古典概型（百度 / 维基）和组合数（百度 / 维基）的含义，以及扫雷游戏中的各种符号。

　　《编程之美》上关于扫雷的概率有两道题：1.18挖雷游戏和4.11扫雷游戏的概率。后者在网上已经有了令人满意的解答，前者我还没发现，相关内容也很少。经过近一天的研究，提出了一个自己的解法。这篇博文的写作过程，同时也是我整理思路的过程。可能有的读者还没有看过这两道题，或者看了之后记不大清楚了，先把两个问题贴在下面：

1.18 挖雷游戏

问题1：如果想给游戏增加一个功能键，点击就能查看剩余所有未标识的方块是否有地雷的概率。如何实现？

问题2：如果上一个问题太难了，可以先让程序先标识所有有地雷的方块。

 

4.11 扫雷游戏的概率

　　　　　　

 

在一个16*16的地雷阵中，有40个地雷。用户点击了两下，出现如图4-21的局面。分析图4-22所示的这个局部。

问题1：当游戏中有40个地雷没有发现时，A、B、C三个方块有地雷的概率(P(A)，P(B)，P(C))各是多少？

问题2：这个局面共有16*16=256个方块，P(A)、P(B)、P(C)的相互大小关系和当前局面中总雷数有关系么？比如从10个逐渐变化到240个，三者曲线如何变化、会不会相交？（建议用Matlab做解）

 

 　　1.18节的问题2比较好解，而且可以同时标记必然没有地雷的方块；但问题1就困难了，暂且放一边；读了4.11节之后，会发现解4.11节的方法是可以用来理解1.18节的问题的。本文的主要方法就是使用网络上对4.11节提供的解法和1.18节问题2的辅助功能，来完成问题1的解答。

　　先要明确地强调一点，1.18节的问题1、2与一些所谓的自动扫雷算法是不同的：对于确定为无雷的方块，并不做点击动作；也即仅作概率分析，而不实际地翻开来确认并获得更多信息。因此，有的自动扫雷算法可能每次并不是选择无雷概率最大的方块，包含了一些启发式的尝试。而这里将会对当前状态的所有方块是否有雷的概率进行分析。比如http://www.verydemo.com/demo_c173_i10167.html，我觉得这就是个似是而非的自动扫雷解法，要保持当前状态来标注概率，又没让你挖开看看，你知道的太多了，不对，应该是你做的太过火了。

　　为了便于阅读，我将一些定义（包括我自己的定义）做成了锚点，如果阅读时忘记了前面的含义可以点击链接来查看。

　　这里先引入“8邻接”的定义。这个定义来源于图形学，如下图，像素P周围的这8个像素就是P的8邻接像素。对应于扫雷问题，同样的可以对一个方块定义它的8邻接方块。

分析：

　　待标识概率的方块可以根据是否与已经标识的方块是8邻接的分为两种，如果是，称之为“邻接方块”，反之则是“非邻接方块”。前者可以按照已标识的方块提供的信息来辅助判断，后者只能取平均概率。对应于原书的例图，“邻接方块”是两条黑线之间、既未挖开也未标记为有地雷的方块：

　　对于这两种方块，其有地雷的概率计算方法是不一样的，下面会逐一分析。

　　为了简化原图，同时解答1.18节问题1，先对必然有雷（即P(此方块有雷)=1）和必然无雷（即P(此方块有雷)=0）的方块进行标识，并且把用旗子标识为“有雷”的地区当作已知是有雷的方块。步骤如下：

(1)（去掉插旗子的方块）把这张图中已经标识为有雷的区域周围8个邻接区域计数减1，并把标识为雷的区域的雷挖掉。同时，对于从1减为0的方块，还要把它8邻接的所有未标识方块标为无雷。这个操作在解问题2之后可以用来进一步转化，从而解决问题1。

等价转化如下图，其中红色方块是经过转化的区域，红色方块且不含数字的标识此方块已无可用信息。具体来说它是由三种方块转化而来：

原先标有数字的，此时它的8邻接区域雷已排完；

原先是雷的，将其有雷概率标记为1；

原先无雷的，将其有雷概率标记为0。

注意：它是一种新的已标识方块，而不是是否有雷未确定的未标识方块。

(2)（标记必有雷和必无雷的方块）对所有不为0的区域，先计算周围方块必有雷的方块。判断规则：标为“x”的方块如果有x个8邻接的未标识方块，那么必有雷。同时，由于这是由逻辑判断得出的必有雷的区域，不是先前插上旗的，游戏剩余雷数计数器没有变化，需要记录推理出的雷数，并在剩余雷数中减去。

(3)重复(1)(2)的转化，直到标识完毕。在这个过程中，所有地雷概率为0和1的邻接方块已经被处理且标记，问题2得到求解。上图转化为：

并且，在这个过程中标记P(此块有雷)=1的方块一共10个，加上之前扫出的3个，那么40个雷还剩下27个。

这里再次强调，虽然有的方块在处理中标记为P(此块有雷)=0，即必然无雷，但这只是逻辑推理，并不代表我们真的点开了这个方块，它实际的数字是未知的，本身并不能提供周围8邻接的雷数信息，只能间接地提示它的8邻接方块的8邻接中少了一颗雷而已。

(4)接下来是处理最后一部分，也即P(此方块有雷)非0非1的部分。这里借鉴了一个解答《编程之美》问题4.11思路，原内容来自任晓祎的博文，但是这个页面我是打不开的，好在转载的人多，比如这里。另外还有一篇从一般情况入手的博文可以参考。

先简单阐述一下其思想。（如果这部分没看懂没关系，看懂上面链接的两篇就可以理解后面的思路）：

　　“子雷区”定义为所有已知信息方块的8邻接中所有未挖开未标记方块以及这些已知信息方块的并集，例如以下几个图中的子雷区是黑框标出的部分，也是我在上面两条黑线包围的部分中未挖开未标记的部分。可见，“子雷区”和“邻接方块”是类似的，只不过"子雷区"描述的是这些方块的总体外加一些已知信息，"邻接方块"描述的是个体。下面你会看到使用这个定义的方便之处。

思想：

　　对于M大小的雷区，其中共有N个雷；已知信息和待判断位置位于一个M'大小的子雷区，先分析子雷区一共可能有多少个雷；对于每一种雷数，分析其分布的情况总数，在乘以余下的雷在子雷区之外的分布情况，其和就是所有的分布情况。待判断位置有雷的概率是它在这些情况中有雷的情况数/所有分布情况（根据古典概型），写成公式如下：

现在继续处理(4)中获得的子雷区。标记“？”的定义为“结合点”，对它讨论可以把一个复杂的子雷区分成多个简单的子雷区。比较巧合的是，《编程之美》1.18这个图，先假设再分情况讨论时会发现有种情况是不成立的，另一种情况只有唯一的可能：

这里举一个和上文图不同的例子说明子雷区分别求解的过程。先做出“结合点无雷”假设的假设后，把子雷区分为这样两个不相交的子雷区：

这时，要求解A处有雷的概率就稍微简单了些。与单独求解一个区域中点是否有雷的概率相比，这些子雷区之间的关系是：

所有子雷区的雷数+非子雷区的雷数+已确定是雷的雷数 = 总雷数。

　　利用从上述两篇博文中获得的思路，分析如下（这部分的公式是在Word里打的，HTML编辑器玩的不熟，直接截了个图粘上来）：

对于不在任何一个子雷区的其余所有点，取任一个点X进行分析：

如果结合点分情况讨论，那么计算方法类似，可以表示为：

这样，对于原图中所有点是否有雷的概率，都能给出了。

 

 　　这下所有点的概率都能求了，似乎1.18节问题1也能解决了。对(1)(2)(3)这三步是这样的，维护好包含有用信息的方块和邻接方块的数据结构，这么标出来所有P=0和P=1的方块是不难的，然而第 (4)步就犯难了：如何把子雷区划分成多个子雷区？结合点怎么找？

　　先回避这个问题，让计算机扬长避短，直接在未划分的子雷区搜索所有可能的地雷分布情况数，并统计在特定位置有雷的情况数，概率也就能算出来了。这时的子雷区已经很小了，处理起来不会很慢，不过要注意不能忽略子雷区以外的非邻接方块中地雷的分布情况。

　　如果非要直面这个问题，让计算机像人一样找结合点、划分子雷区、按结合点分情况计数当然也可以，但是编码难度大，计算也未必快。可以注意到，与含有信息的已挖开方块相连的邻接方块其实最多只有一层，并且是一条直线。如果一个含有信息的已挖开方块与两层邻接方块相连，那么相连的地方就是待讨论的点，如下图所示，红色和蓝色是两条邻接方块的一层，紫色是邻接点。接下来就是像人一样分情况讨论了，但由于实际划分很复杂，而且这个所谓的讨论其实还是让计算机去进行可能情况的搜索，可能性能还不如上面的直接去搜索快一些。另外，我这里给出的规律是自己总结的，不确定是否有疏漏，可靠性有限。

具体的编码就略过了，主要过程是简化原图+搜索算法。按照(1)~(4)步，完全可以写出伪代码框架。

 

另外预先设计了几个FAQ，当然各位看官如果有什么问题，不要吝惜留言啊！

 

Q：1.18节标题是“挖雷游戏”，4.11节标题成了“扫雷游戏”，居然不一样！

A：其实这也是我想吐槽的地方：前后不一致，《编程之美》里可是不少，从代码的语言到这小小的标题。

 

Q：既然有的方块是否有雷能直接判断出来，为什么不挖开从而获得更多信息？

A：这个问题我在正文里强调了两遍了，直接点击这个链接跳转过去再读一遍吧。

 

Q：在4.11中，按3*5区域中有3个雷还是2个雷进行了分情况计数。为什么不用全概率公式(百度/维基)？

A：P(A)=P(A|B1)*P(B1) + P(A|B2)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)，A={A点有雷的概率}，Bi={3*5区域中有i个雷的概率}，

　　嗯，看上去很清楚，P(A|Bi)是容易计算了。但是P(Bi)你怎么获得？

 

Q：为什么对一些定义提供了两个链接？

A：事实上我觉得文中出现的几个定义，百度百科比维基百科阐述的清楚一些。当然有的人不喜欢百度，为了照顾他们的情绪我把维基百科中的定义也附上了。

 

Q：分析了大半天，最后还是用搜索的方法，真失望。

A：是啊，我也有点失望。但我已经尽力剪枝了，剪到步骤(4) 才权衡是更精细的剪枝开销大还是从这里开始搜索开销大。毕竟结合点的情况太多了，没有进行很简单的抽象。这还是比一开始就搜索要好很多了吧？

 

 

Q：我需要的是源代码……

A：其实我可以直截了当地告诉你，博主在windows编程方面非常之poor，以至于现阶段是不可能给你写出源代码的。自己努力吧！当然，如果你搞定了，记得把源码发给我一份^ ^

 

Q：任晓祎的博文打不开，那些转载里的图片也看不了，更不会用MATLAB，可还是想看看4.11的三条曲线。

A：这个希望还是能满足的。不过注意到由于地雷数N是离散的，实际上绘出来的是散点图，如下：

我甚至把MATLAB代码都给你了，直接粘到m文件里就能重现这个图像：

 n = 10:1:240;
 m = 256;
 %P(A)
 p1 = (2*n -4)./(3*m+7*n-56);
 plot(n,p1,'r')
 hold on
 %P(B)
 p2 = (n -2)./(10*m-7*n-126);
 plot(n,p2,'g')
 hold on
 %P(C)
 p3 = (20*m -17*n-246)./(50*m - 35*n - 570);
 plot(n,p3,'b')
 legend('P(A)','P(B)','P(C)')

 

不过要注意的是，在图像中，P(B)看上去与P(A)和P(C)相交，但真的是这样么？别忘了这三条其实不是连续的曲线，而是离散的点的连线。

令P(A) = P(B)，解得N1 = 2,N2 = 4196/21，都不是10至240之间的整数，所以P(A)和P(B)其实没有公共点。

再看看P(B)和P(C)，这里解方程比较复杂，直接把图像放大了看，交点似乎是221。带入P(B)和P(C)的表达式，二者不相等，只是很近似。

结论是曲线看上去是相交的，但实际上并没有公共点。怎么样，没有被你的眼睛欺骗吧？

 

Q：博主，你的XX式子中的XX算错了/扫雷图中XX格分析错了。

A：本文中所有式子和图形标记我都进行了两遍计算/检查了两遍，虽然仍有可能有遗漏的地方，不过也请您先验证一下自己的论断吧，如果确实有错我会改正的。