[珠玑之椟]位向量/位图的定义和应用

　　位向量/位图是一个很有用的数据结构，在充分利用小空间存储大量数据方面非常具有优势，Linux内核中很多地方都是用了位图。同时，它不但基础，而且用到了很多编程语言的知识，以及对细节的把握，常常作为面试题出现。这里将要介绍它的实现、操作、应用。

　　与位图(bitmap)比，我更倾向于用位向量(bit vector)，前者比较容易与图形学里的名词混淆，其实提到位图，多指的是“是使用像素阵列来表示的图像”（维基百科），为了避免这一点，下文中使用位向量。先来看看产生位向量的需求：

　　一般地，对于多个对象和一个性质，这些对象可能满足(true)也可能不满足(false)这条性质。那么，为了表示所有对象对这个性质的满足情况，最容易想到的方式是分配一个int型变量（这里不讨论布尔型，C++没有对布尔型占用空间有明确规定；本文主要讨论C）作为标志，用1表示满足条件，用0表示不满足条件。同时为了方便查询，把这些对象的标志整合成一个数组。显然，使用int来表示是0还是1有些太浪费空间了，即使把int改为char，浪费的情况也只是减轻了一部分，仍有很大的空间被浪费。考虑到计算机中最小的数据单位是非0即1的二进制位，对于一个对象，使用一个二进制位就足够了。很多语言都具有位运算，利用位运算是可以完成本段开始处提出的要求的。当然，因为不能用一个变量名直接表示一个位，那么可以将多个位组合成一个基本数据类型，通过对这个基本数据类型进行操作，达到使用位的方法。同时，为了方便，延续使用int数组的做法，把这些由位组合成的基本数据类型也组成数组。

　　经过这样分析，位向量的实现方法大体是：多个位组成一个基本数据类型，基本数据类型组合成数组。根据这个思路就可以写出位向量的表示了。在阅读下面代码前，建议读者尝试自己独立完成，这是一些提示：简单起见，使用int作为位组成的基本数据类型，且int使用32位表示；int数组中元素的个数如何计算？

#define N           10000000 //number of elements
#define BITPERWORD  32 //bits of int depends on machine
int a[(N-1)/BITPERWORD + 1]; //allocate space for bitmap 
//《编程珠玑》原书中是N/BITPERWORD + 1
//如果N恰为BITPERWORD的倍数，那么又要浪费一个int的空间了
//N取0时，仍会浪费一个int的空间
//N非0非BITPERWORD的倍数时，最多是最后一个int不完全利用而已

　　写完了表示，就需要为这个数据结构增加对应的操作了。对于每个位的操作，有三种：设置为0、设置为1、读取当前值。根据上文位向量的表示，实现这三种操作。同样建议读者先尝试独立完成。以下代码参考自《编程珠玑》习题1.2。

#define SHIFT       5    //32 = 2^5
#define MASK        0x1F // vaule 11111 in binary

//i代表需要进行操作的第i个对象
//i>>SHIFT相当于i/32，将i定位到具体是哪个int中，即a[i>>SHIFT]
//i&MASK相当于i%32 只保留i的0至4位，即i在int中的第几位，然后把1左移这么多位
//将a[i>>SHIFT]和(1<<(i&MASK))视需要进行操作
//同1做或运算或即为位设置
//同1取反再做与运算即为位清除
//同1做与，结果为0则原位为0，为1则原位为1
void set(int i)     {        a[i>>SHIFT] |=  (1<<(i&MASK));}
void clr(int i)     {        a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i&MASK));}
int test(int i)    { return a[i>>SHIFT] &   (1<<(i&MASK));}

　　使用位向量前不要忘记对所有位进行初始化：

for(i=0;i<N;i++)
    clr(i);

　　当然，你也可以用这个或许更快的初始化方式：

int temp = N/BITPERWORD+1;
for (i=0; i< temp;i++) 
    a[i] = 0;

补充讨论：

Q:为什么要用看上去并不那么直接的位运算而不是i/32和i%32？

A:为了速度而不是易读性。你所写下的最初版本如果使用的是/和%，当然没有错；当你着手于提高效率的时候，把它们改成移位运算就势在必行了。虽然编译器可能会对/和%在除数为2的幂时进行优化，写成移位运算，你当然可以自己来完成这件事来保证确实优化了。

 

Q:是否可以将存放位向量的数组作为参数？

A:当然可以，上文代码只是为了叙述方便。

 

Q:是否可以把这三个函数写成宏？

A:其实我曾经被面试过一道题，就是要求写一个宏，完成上面clr(i)的任务。写成宏当然没问题，注意加好括号就行，具体的用法让调用的人去担心吧（笑）。

 

Q:位向量和位字段/位域有什么区别和联系？可以用位字段来实现位向量吗？

A:C语言允许将结构的整数成员存入比编译器通常允许的更小的空间里。然而它有三个风险：不同计算机中对齐限制不同；位字段宽度限制不同；将位包装成字的字节顺序不同。在位向量里，虽然也有依赖于具体计算机特性的限制（需要预先知道int的位数），但是位的包装是由程序员来控制的，也不必考虑对其限制。移植性略好于将成员声明为1位整数位字段的结构。

 

应用：

1.Linux中分配唯一pid的算法、内存管理的伙伴分配系统等，详细可以google，关键词：linux+位图。

2.一个最多包含n个正整数的文件，每个数都小于n，其中n=10⁷，并且没有重复。最多有1MB内存可用。要求用最快方式将它们排序并按升序输出。（《编程珠玑》第一章正文）方法是一次读入文件，把出现过的数字对应位置1；读取完毕后从低位到高位输出位向量为1的位所代表的数。

3.如果有用时间换空间的必要，可以将寻找1至某个数之间所有质数的埃氏筛法用位向量实现。原始版本的代码见于《编程珠玑（续）》习题1.2，算法简介：一个n比特的数组，对应1至n-1，初值均为真。从2开始，每发现一个质数，就把这个数组中所有这个数的倍数设为假。下一个质数就是数组中下一个为真的比特。循环至所有数都被遍历，即可得到该范围内所有的质数。

 

引申和扩展：

1.（习题1.6）每个整数最多出现10次而不是1次；如果内存限制不变，又应该怎么做？提示：多趟排序

（更一般的扩展：用几个位表示一个对象的多个性质，也即一个对象不仅仅只占用一位而是多位，但每个对象占用的位数是相同的。重写位图。）

2.（习题1.9）对于稀疏的位向量，初始化很浪费时间。一般地，对于一个向量（不仅限于位向量），怎样利用辅助数据结构，使得第一次访问位向量的某一位时才将其初始化为0？

解法：

对于向量int data[N]，分配辅助数据结构int from[N]和to[N]，以及一个整数top，初始化top=0。

插入data[i]时，from[i]填入top，to[top] = i，top++；

这样维持了一个性质：top代表下一个被插入的值的次序；from[i]代表了data[i]是第几个被插入的；to[]中小于top的元素to[j]保存了第j个被插入对应在data[]的下标。

若data[i]未初始化，则from[i]也未初始化，此时即使from[i]中未初始化的垃圾值<top，to[from[i]]!= i，仍能判断出data[i]未初始化。

 

 

“珠玑之椟”系列简介与索引