【集训笔记】归纳与递推【HDOJ1297

例:（2050）折线分割平面

问题描述：

  平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?

样例输入

  1

  2

样例输出

  2

  7

平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?
解： 折线反向延伸就是相交线 ，n条相交线分割平面的块数最多为 F(n) =2n(2n+1)/2 +1
         由于反向延伸而增加的平面数为 g(n)= 3+(n-1)2 -1 =2n
         所以 f(n)= F(n)- g(n) =2n^2 -n +1
3.“佐罗”的烦恼
说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？
说明1：“Z”的两端应看成射线
说明2：“Z”的两条射线规定为平行的
    解：先将"z"的线段和射线进行延伸处理，形成两平行线加一斜相交直线
         n+1 个这样的组合可将平面最多分割成 F(n+1) = F(n)+(3n+1)2 +3n+3 =F(n)+9n+5
          F(n+1) =Sum(9i+5)+F(1) i: 1->n
                      =n(n+1)9/2 +5n +6
         F(n) =n(n-1)9/2 +5n +1
         所以 f(n)= F(n) -4n =n(n-1)9/2 +n +1

思考题：平面分割方法

问题的提出：

    设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

平面分割方法
   设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
解： 
        如图可得 F(1)=2
                        F(n)=F(n-1) +2(n-1)
        解得 F(n) =n(n-1) +2

1465 不容易系列之一

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。 

 

分析思路：

1、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装

2、前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1) * (N-1)

3、后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1)

得到如下递推公式：

基本形式：d[1]=0;   d[2]=1
递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

   这就是著名的错排公式

思考： 为什么只有两种情况？前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装 ---更多的错装已经包含在N-1封错装中

    F(N-1) * (N-1) ： 表示对于每一种错装，有 N-1 种替换选择

   F(N-2) * (N-1) ： 从N-1 封中选出一封是装对的（这样的选择数有（N-1）种），余下的 N-2封有F(N-2)种错装情况，乘以选择数 （N-1) 即得。。

 

最后一个思考题（有点难度）

HDOJ1297

Children’s Queue

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 9798    Accepted Submission(s): 3117

Problem Description

There are many students in PHT School. One day, the headmaster whose name is PigHeader wanted all students stand in a line. He prescribed that girl can not be in single. In other words, either no girl in the queue or more than one girl stands side by side. The case n=4 (n is the number of children) is like
FFFF, FFFM, MFFF, FFMM, MFFM, MMFF, MMMM
Here F stands for a girl and M stands for a boy. The total number of queue satisfied the headmaster’s needs is 7. Can you make a program to find the total number of queue with n children?

 

Input

There are multiple cases in this problem and ended by the EOF. In each case, there is only one integer n means the number of children (1<=n<=1000)

Output

For each test case, there is only one integer means the number of queue satisfied the headmaster’s needs.

Sample Input

1 2 3

Sample Output

1 2 4

 

解题分析：

按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论：<br>1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1);

2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况：<br>2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2);<br>2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，<br>这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).<br>注意：这里的数字很大，存储需使用数组

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int arr[1001][101]={0};
  arr[0][1]=1;
  arr[1][1]=1;
  arr[2][1]=2;
  arr[3][1]=4;
  for(int i=4;i<1001;i++)
  {
      for(int j=1;j<101;j++)
      {
         arr[i][j]+=arr[i-1][j]+arr[i-2][j]+arr[i-4][j];//
         arr[i][j+1]+=arr[i][j]/10000;//
         arr[i][j]=arr[i][j]%10000;//
      }
  }
      int num;
      while(cin>>num)
      {
          int k=100;
         for(;arr[num][k]==0;k--);
             cout<<arr[num][k];
         for(;k>1;)
         {
             k--;
             cout.width(4);
             cout.fill('0');
             cout<<arr[num][k];
         }
         cout<<endl;
      }
}