Floyd算法应用-医院选址问题

1)问题描述

n个村庄之间的交通图可以用有向网图来表示，图中边<v_i, v_j>上的权值表示从村庄i到村庄j的道路长度。现在要从这n个村庄中选择一个村庄新建一所医院，问这所医院应建在哪个村庄，才能使所有的村庄离医院都比较近？

2) 基本要求

(1) 建立模型，设计存储结构；

(2) 设计算法完成问题求解；

(3) 分析算法的时间复杂度。

3) 设计思想

医院选址问题实际是求有向图中心点的问题。首先定义顶点的偏心度。

设图G=（V，E），对任一顶点k，称E(k)=max{d(i, k)}（i∈V）为顶点k的偏心度。显然，偏心度最小的顶点即为图G的中心点。

如图3(a)所示是一个带权有向图，其各顶点的偏心度如图(b)所示。

 

4)医院选址问题的算法用伪代码描述如下：

1．对加权有向图，调用Floyd算法，求每对顶点间最短路径长度的矩阵；

2．对最短路径长度矩阵的每列求大值，即得到各顶点的偏心度；

3．具有最小偏心度的顶点即为所求。

5)代码附录

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define INFINITY 1000000
#define MAX_VERTEX_NUM 20

//定义弧的权值信息
typedef struct Arccell
{
    int adj; //权值
} Arccell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //图的邻接矩阵
//定义结点信息
typedef struct VertexInfo
{
    char name[20];//结点[村庄]名称
    int position;//定点编号
} VertexInfo;
//图的结构
typedef struct Mgraph
{
    VertexInfo vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点数组
    AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
    int vernum,arcnum;//分别指定顶点数和边数
} Mgraph;


//对图的初始化
Mgraph initgraph()
{
    Mgraph c;
    printf("请输入该图的顶点个数和弧的个数：\n");
    printf("顶点个数：");
    scanf("%d",&c.vernum);
    printf("弧的个数：");
    scanf("%d",&c.arcnum);
    //依次设置顶点编号
    for(int i=0; i<c.vernum; i++)
    {
        c.vexs[i].position=i;
    }
    //依次输入各顶点信息
    /*
    strcpy(c.vexs[0].name,"a");
    strcpy(c.vexs[1].name,"b");
    strcpy(c.vexs[2].name,"c");
    strcpy(c.vexs[3].name,"d");
    strcpy(c.vexs[4].name,"e");

    */
    printf("\n请依次输入各个村庄的名称：\n");
    for(int i=0;i<c.vernum;i++)
    {
        printf("村庄%d:",i);
        scanf("%s",&c.vexs[i].name);

    }

    //依次设置各弧的信息
    for(int i=0; i<c.vernum; i++)
    {
        //先初始化邻接矩阵,相同点设置为0，其他全部设置为INFINITY（无穷大）
        for(int j=0; j<c.vernum; j++)
        {
            c.arcs[i][j].adj=INFINITY;
            if(i==j)
            {
                c.arcs[i][j].adj=0;
            }
        }
    }
    //再依次输入需要设置的权值
    int i,j,k;
    printf("请输入需要设置的弧长及其两端顶点[输入3个0结束]：\n");
    while(scanf("%d%d%d",&i,&j,&k))
    {
        if(i==0&&j==0&k==0)
            break;
        c.arcs[i][j].adj=k;
    }
    /*
    c.arcs[0][1].adj=1;
    c.arcs[1][2].adj=2;
    c.arcs[2][3].adj=2;
    c.arcs[2][4].adj=4;
    c.arcs[3][1].adj=1;
    c.arcs[3][2].adj=3;
    c.arcs[4][3].adj=5;
    */
    return c;
}

//输出邻接矩阵
void printMatrix(Mgraph c)
{
    printf("该图的邻接矩阵如下所示：\n");
    int count=0;//用于计数
    for(int i=0; i<c.vernum; i++)
        for(int j=0; j<c.vernum; j++)
        {
            if(c.arcs[i][j].adj==INFINITY)
                printf("   #");
            else
                printf("%4d",c.arcs[i][j].adj);
            count++;
            if(count%c.vernum==0)
                printf("\n");
        }
}

void ShortestPath_Floyd(Mgraph G,int dis[][MAX_VERTEX_NUM])
{
    //用floyd算法求有向网G中各对定点v和w之间的最短路径及其带权长度dis[v][w]
    for(int v=0; v<G.vernum; v++)
        for(int w=0; w<G.vernum; w++)
        {
            //对各结点之间初始化已知距离
            dis[v][w]=G.arcs[v][w].adj;
        }

    for(int u=0; u<G.vernum; u++)
        for(int v=0; v<G.vernum; v++)
            for(int w=0; w<G.vernum; w++)
            {
                if(dis[v][u]+dis[u][w]<dis[v][w])
                {
                    //从v经u到w的路径更短
                    dis[v][w]=dis[v][u]+dis[u][w];
                }
            }

}
//输出距离矩阵
void printDis(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM])
{
    printf("\n经过Flyod算法之后各顶点之间的距离如下：\n");
    for(int i=0; i<G.vernum; i++)
    {
        for(int j=0; j<G.vernum; j++)
        {
            if(dis[i][j]>=1000000)
                printf("   #");
            else
                printf("%4d",dis[i][j]);

        }
        printf("\n");
    }
}

//得到偏心度degree[]数组
void getDegree(Mgraph G,int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],int degree[])
{
    for(int i=0;i<G.vernum;i++)
    {
        int max=dis[0][i];
        for(int j=0;j<G.vernum;j++)
        {
            if(dis[j][i]>max)
                max=dis[j][i];
        }
        degree[i]=max;
    }
}



int main()
{
    printf("**********欢迎使用医院选址系统*********\n");
    Mgraph c=initgraph();
    system("cls");

    //输出邻接矩阵
    getchar();
    printMatrix(c);

    //定义距离数组，调用Floyd算法得到结果
    int dis[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    ShortestPath_Floyd(c,dis);

    //输出各个顶点之间的距离矩阵
    getchar();
    printDis(c,dis);

    //存放偏心度数
    int degree[c.vernum];
    getDegree(c,dis,degree);

    //显示各顶点的偏心度
    getchar();
    printf("\n各顶点的偏心度如下所示：\n");
    for(int i=0;i<c.vernum;i++)
    {
        if(degree[i]>=1000000)
            printf("   #\n");
        else
            printf("%4d\n",degree[i]);
    }

    //得到最小村庄的编号和名称
    int num;
    int min=degree[0];
    for(int i=0;i<c.vernum;i++)
    {
        if(min>degree[i])
            min=degree[i];
    }

    for(int i=0;i<c.vernum;i++)
    {
        if(min==degree[i])
        {
            num=i;
            break;
        }
    }
    getchar();
    printf("\n偏心度最小的村庄编号：%4d\n",num);//输出偏心度最小的村庄编号
    printf("医院应该建立在村庄:   %4s \n",c.vexs[num].name);
    return 0;

}

6)测试结果

1.首先运行程序，出现如图6.1所示。

 

　　　　　　　　  图6.1  程序运行开始界面

2.输入顶点个数和边的个数之后，会提示输入村庄名称，如图6.2所示。

 

                        图6.2 提示输入村庄名称界面

3.村庄名称输入结束之后，提示输入边的起始点和权值，如图6.3所示。

 

                        图6.3 提示输入边相关信息的界面

4.输入边的信息，以输入0 0 0结束，如图6.4所示。

 

                        图6.4 输入边相关信息界面

5.边的信息输入完成之后，回车得到邻接矩阵，如图6.5所示。

 

                           图6.5 邻接矩阵表

6.继续回车，得到距离矩阵，如图6.6所示。

 

                           图6.6 距离矩阵表

7.回车，得到偏心度表，如图6.7所示。

 

                           图6.7 各顶点偏心度

8.最后程序输出医院选址结果，如图6.8所示。

 

                             图6.8 最终结果