KMP(字符匹配算法)
模式串的各个子串 |
前缀 |
后缀 |
最大公共元素长度 |
x |
空 |
空 |
0 |
xy |
x |
y |
0 |
xyx |
x , xy |
x , yx |
1 ( x ) |
xyxy |
x , xy , xyx |
y , xy , yxy |
2 ( xy ) |
xyxyy |
x , xy , xyx , xyxy |
y , yy , xyy , yxyy |
0 |
xyxyyx |
x , xy , xyx , xyxy , xyxyy |
x , yx , yyx , xyyx , yxyyx |
1 ( x ) |
xyxyyxx |
x , xy , xyx , xyxy , xyxyy , xyxyyx |
x , xx , yxx , yyxx , xyyxx , yxyyxx |
1 ( x ) |
xyxyyxxy |
x , xy , xyx , xyxy , xyxyy , xyxyyx , xyxyyyxx |
y , xy , xxy , yxxy , yyxxy , xyyxxy , yxyyxxy |
2 ( xy ) |
xyxyyxxyx |
x , xy , xyx , xyxy , xyxyy , xyxyyx , xyxyyyxx , xyxyyyxxy |
x , yx , xyx , xxyx , yxxyx , yyxxyx , xyyxxyx , yxyyxxyx |
3 ( xyx ) |
模式串 |
X |
Y |
X |
Y |
Y |
X |
X |
Y |
X |
前缀最大公共元素 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
严版数据结构求 next 的公式:
我们主要观察第二项,存在两种情况:
( 1 )集合为空,若集合为空,则属于公式中的第一或第三种情况(其他情况), j=1 的时候, next[1]=0 ,当 j>1 的时候, next[j]=1 。
( 2 )集合不为空,则我们要取的 k ,是集合中 k 的最大值。
先以严老师书上的例子:
求模式串 abaabcac 的 next 数组
当 j=1 时, next[1]=0 ,直接是公式的第一种情况
当 j=2 时,因为第二种情况要保证集合不为空且 1<k<j ,那么, j=2 时,集合为空,所以不符合第二种情况,因此,属于其他情况,即 next[2]=1
当 j=3 时, k 要小于 j ,所以,我们要在模式串找长度小于 j 的前面全部串的前缀与后缀相同时的最大长度,也就是在模式串中找到前两位 ab ,来找他们最长的前缀与后缀及长度,可以发现,他们没有相同的前缀与后缀,因此,长度为 0 ,而 k 等于长度加 1 ,所以 next[3]=1
当 j=4 时,在 aba 中找前缀与后缀的相同时的最大长度,可以求出最大长度Max为 1 ,所以 next[4]=2
当 j=5 时,在 abaa 中找,Max为 1 ,所以 next[5]=2
当 j=6 时,在 abaab 中找,Max为 2 ,所以 next[6]=3
当 j=7 时,在 abaabc 中找,Max为 0 ,所以 next[7]=1
当 j=8 时,在 abaabca 中找,Max为 1 ,所以 next[8]=2
以模式串为 xyxyyxxyx 为例,求 next
当 j=1 , next[1]=0
当 j=2 , next[2]=1
当 j=3 ,在 xy 中找前缀与后缀,最大长度 max 为 0 , next[3]=1
当 j=4 ,在 xyx 中找, Max 为 1 , next[4]=2
当 j=5 ,在 xyxy 中找, Max 为 2 , next[5]=3
当 j=6 ,在 xyxyy 中找, Max 为 0 , next[6]=1
当 j=7 ,在 xyxyyx 中找, Max 为 1 , next[7]=2
当 j=8 ,在 xyxyyxx 中找, Max 为 1 , next[8]=2
当 j=9 ,在 xyxyyxxy 中找, Max 为 2 , next[9]=3