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长链剖分 长链剖分在维护有关深度的信息时具有显著优势。 定义长链剖分中长儿子为子树内深度最大的儿子，不难使用类似重链剖分的方式求出长儿子： void dfs1(int u, int f) { fa[u] = f, len[u] = 1; for (int v : G.e[u]) { if (v == 阅读全文
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字符串杂记 哈希 对于字符串哈希，定义哈希函数： \[H[1, i] = H[1, i - 1] \times B + S[i] \]则： \[H[l, r] = H[1, r] - H[1, l - 1] \times B^{r - l + 1} \]若两个串的哈希值相同，基本可以认为两个串相同。 阅读全文
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众数杂记 众数：出现次数最多的数。 绝对众数：出现次数严格大于不出现次数的数。 众数并不满足区间可加性，一般来说众数相关的问题很少是 poly log 的复杂度。可以尝试往根号方面思考，如分块、莫队，或将数字的出现次数进行根号分治。 关于绝对众数的分析： 一个区间只存在一个绝对众数。 若存在绝对众数 阅读全文
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点分治 点分治适合处理大规模的树上路径信息问题。 实现 P3806 【模板】点分治1 给定一棵有 \(n\) 个点的树，询问树上距离为 \(k\) 的点对是否存在。 \(n \leq 10^4\) 考虑简单深搜，对于任意子树，把路径分为经过根节点的路径和不经过根节点的路径。 对于不经过根节点的路径， 阅读全文
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二分图 定义：可以分为两个部分的图（称为左部和右部），同一个部分内没有边。 由此得到： 二分图是可以被二染色的图。 若二分图 \(G=(V,E)\) 包含 \(C\) 个连通分量，则其二染色的方案为 \(2^C\) 。 二分图的判定 定理：一张无向图是二分图，当且仅当图中无奇环 。 推论： 二分图的 阅读全文
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数论杂记 数论函数 数论函数是指这样一类函数：其定义域是正整数，值域是一个数集。 定义两个数论函数的加法，为逐项相加，即 \((f + g)(n) = f(n) + g(n)\) 。 定义数乘这个数和每一项都相乘，即 \((xf)(n) = x \times f(n)\) 。 常见数论函数 \[1( 阅读全文
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DP套DP DP套DP，就是将内层DP的结果作为外层DP的状态进行DP。 主要思想是一位一位确定子DP的输入，不妨考虑已经枚举了前 \(i\) 位，由于我们只对DP方程的最终结果感兴趣，故并不需要记录这前 \(i\) 位都是什么，只需要记录对这前 \(i\) 位进行转移以后，DP方程关于每个状态的当 阅读全文
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欧拉相关 欧拉函数 欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \(1 \sim n\) 内与 \(n\) 互质的数的个数。 性质 欧拉函数是积性函数，特别的有 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\) 。 \(\sum_{d | n} \varphi(d) = n\) 。 证明： 阅读全文