int, float, double之间不得不说的故事

抱歉我用了一个这么“二”的题目，不过二点就二点吧，希望内容还不算太二。
其实学习过编程的同学，都对这三个东西再熟悉不过了。int，又称作整型，在.net中特指的是Int32，为32位长度的有符号整型变量。float，单精度浮点数，32位长度，1位符号位，8位指数位与23位数据位，在.net中又称为Single。double，64位长度的双精度浮点数，1位符号位，11位指数位，52位数据位。它们互相的关系就是：int可以稳式转换成float和double，float只能强制转换成int，但是可以隐式转换成double，double只能强制转换成float和int。
在说明问题之前，还很有必要温习一下计算机组成原理时学习到的一些知识，就是二进制补码表示以及浮点数表示。我想把一个十进制转化为二进制的方法已经不用多费唇舌，只不过为了计算方便以及消除正零与负零的问题，现代计算机技术，内存里存的都是二进制的补码形式，当然这个也没什么特别的，只不过有某些离散和点，需要特殊定义而已，比如-(2^31)，这个数在int的补码里表示成1000…(31个零)，这个生套补码计算公式并不能得到结果（其实不考虑进位的话还真是这个结果，但是总让人感觉很怪）。再者，浮点数，其实就是把任何二进制数化成以0.1....开头的科学计数法表示而已。

废话说完，这就出现了几个问题，而且是比较有意思的问题。

 int i = Int32.MaxValue;
 float f = i;
 int j = (int)f;
 bool b = i == j;

这里的b，是false。刚才这个操作，如果我们把float换成long，第一次进行隐式转换，第二次进行强制转换，结果将会是true。乍一看，float.MaxValue是比int.MaxValue大了不知道多少倍的，然而这个隐式转换中，却造成了数据丢失。int.MaxValue，这个值等于2^31-1，写成二进制补码形式就是01111…(31个1)，这个数，在表示成float计数的科学计数法的时候，将会写成+0.1111…(23个1)*2^31，对于那31个1，里面的最后8个，被float无情的抛弃了，因此，再将这个float强制转换回int的时候，对应的int的二进制补码表示已经变成了0111…(23个1)00000000，这个数与最初的那个int相差了255，所以造成了不相等。
那么提出另一个问题，什么样的int变成float再变回来，和从前的值相等呢？这个问题其实完全出在那23位float的数据位上了。对于一个int，把它写成二进制形式之后，成为了个一32个长度的0、1的排列，对于这个排列，只要第一个1与最后一个1之前的间距，不超过23，那么它转换成float再转换回来，两个值就会相等。这个问题是与大小无关的，而且这个集合在int这个全集下并不连续。

 double d = 0.6;
 float f = (float)d;
 double d2 = f;
 bool b = d == d2;

这里的b，也是false。刚才这个操作，如果开始另d等于0.5，结果就将会是true。乍一看，0.6这个数这么短，double和float都肯定能够表示，那么转换过去再转换回来，结果理应相等。其实这是因为我们用十进制思考问题太久了，如果我们0.6化成二进制小数，可以发现得到的结果是0.10011001……(1001循环)。这是一个无限循环小数。因此，不管float还是double，它在存储0.6的时候，都无法完全保存它精确的值（计算机不懂分数，呵呵），这样的话由于float保存23位，而double保存52位，就造成了double转化成float的时候，丢失掉了一定的数据，非再转换回去的时候，那些丢掉的值被补成了0，因此这个后来的double和从前的double值已经不再一样了。
这样就又产生了一个问题，什么样的double转换成float再转换回来，两个的值相等呢？其实这个问题与刚才int的那个问题惊人的相似（废话，都和float打交道，能不相似么），只不过我们还需要考虑double比float多了3位的指数位，太大的数double能表示但float不行。
还有一个算是数学上的问题，什么样的十进制小数，表示成二进制不是无限小数呢？这个问题可以说完全成为数学范畴内的问题了，但是比较简单，答案也很明显，对于所有的最后一位以5结尾的十进制有限小数，都可以化成二进制的有限小数（虽然这个小数可能长到没谱）。
最后，一个有意思有问题，刚才说过0.6表示成为二进制小数之后，是0.1001并且以1001为循环节的无限循环小数，那么在我们将它存成浮点数的时候，一定会在某个位置将它截断（比如float的23位和double的52位），那么真正存在内存里的这个二进制数，转化回十进制，到底是比原先的十进制数大呢，还是小呢？答案是It depends。人计算十进制的时候，是四舍五入，计算机再计算二进制小数也挺简单，就是0舍1入。对于float，要截断成为23位，假如卡在24位上的是1，那么就会造成进位，这样的话，存起来的值就比真正的十进制值大了，如果是0，就舍去，那么存起来的值就比真正的十进制值小了。因此，这可以合理的解释一个问题，就是0.6d转换成float再转换回double，它的值是0.60000002384185791，这个值是比0.6大的，原因就是0.6的二进制科学计数法表示，第24位是1，造成了进位。

到了这里，仍然有一事不解，就是对于浮点数，硬件虽然给予了计算上的支持，但是它与十进制之间的互相转换，到底是如何做到的呢，又是谁做的呢（汇编器还是编译器）。这个东西突出体现在存在内存里的数明显实际与0.6不等，但是无论哪种语言，都能够在Debug以及输入的时候，将它正确的显示成0.6提供给用户（程序员），最好的例子就是double和ToString方法，如果我写double d=0.59999999999999999999999999999，d.ToString()给我的是0.6。诚然，对于double来说，我写的那个N长的数与0.6在内存里存的东西是一样的，但是计算机，又如果实现了将一个实际与0.6不相等的数变回0.6并显示给我的呢？关于这个问题，欢迎大家讨论并请高手指教一二。