关于ArcTan的一个公式--ArcTan(a)+ArcTan(b)

关于ArcTan的一个公式--ArcTan(a)+ArcTan(b)

  今天在查ArcTan的公式ArcTan(a)+ArcTan(b)的时候，发现现在网上能查到的都是错的。先看一下百度百科和互动百科写的。

  可以看到是一样的，都是arctanA+arctanB = arctan[(A+B)/(1-AB)]
  我们来看一下这个公式当A=2，B=3的时候就是不对的
 
  我们可以看到当a=2，b=3时，两者的差是Pi，很显然是不对的。
 
  那么公式究竟应该是什么呢，我们首先去看一下原来那个公式是怎么推导出来的。
  在网山找到了推到的过程(我改动了一下，原版有错误)：
 

令a=arctanA,b=arctanB
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana×tanb)=(A+B)/(1-AB)
所以
arctanA+arctanB
=a+b
=arctan(tan(a+b))
=arctan[(A+B)/(1-AB)]

乍一看好像没什么错误，都很对。我也是一开始觉得没什么问题。

后来发现问题就出在下面这一步上

arctan(tan(a+b))=arctan[(A+B)/(1-AB)]

我们可以看到进行arctan运算，后面要加上k*Pi，这就是为什么我们上面结果多了Pi的原因。
其实推导也就是最后一步要改正一下，改完后如下：

令a=arctanA,b=arctanB
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana×tanb)=(A+B)/(1-AB)
所以
arctanA+arctanB
=a+b
=arctan(tan(a+b))
=arctan[(A+B)/(1-AB)]+k*Pi   //其中k为0或1

改动都在最后一句。

最后我们来看一下为什么进行arctan运算要加上k*Pi

我们可以看到其实arctan(-1)既可以是-45度也可以是135度，要看a，b这两个角度来看是否要加上Pi，若两者和在二三象限，既要加Pi，否则不要加。
其实我们也可以得到在一四象限的两个角的Tan相成，乘积不大于1。

我已经去百度百科那里编辑了。

以上，所有
2017/3/8