1、数学推导
根据上讲的思想，我们可以用下图来进行数学上的推导.
2、PCA的步骤
1）对原始数据进行标准化处理：对该指标变量进行标准化，
2）计算相关系数矩阵（协方差矩阵）
3）计算相关系数矩阵的特征值和特征向量，得到新的指标标量。
4）计算特征值的信息贡献率和累积贡献率，按一定规则选择主成分
5）以主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型，计算综合评价值和排名
3、应用实例——我国各地区普通高等教育发展综合评价
案例背景不再详述，在此我们选取10个指标来评价30个省市他们的普通高等教育发展。
数据：
1）将上述数据标准化，计算协方差矩阵
2）计算协方差矩阵的特征值和特征值贡献率
3）根据特征值贡献率选取前四个特征根对应的特征向量
由此可得四个主成分分别为：
4）分别以四个主成分的贡献率为权重，计算主成分综合得分：
计算的matlab程序：
1 gj=[ 2 5.96 310 461 1557 931 319 44.36 2615 2.2 13631; 3 3.39 234 308 1035 498 161 35.02 3052 0.9 12665; 4 2.35 157 229 713 295 109 38.4 3031 0.86 9385; 5 1.35 81 111 364 50 58 30.45 2699 1.22 7881; 6 1.5 88 128 421 144 58 34.3 2808 0.54 7733; 7 1.67 86 120 370 153 58 33.53 2215 0.76 7480; 8 1.17 63 93 296 117 44 35.22 2528 0.58 8570; 9 1.05 67 92 297 115 43 32.89 2835 0.66 7262; 10 0.95 64 94 287 102 39 31.54 3008 0.39 7786; 11 0.69 39 71 205 61 24 34.5 2988 0.37 11355; 12 0.56 40 57 177 61 23 32.62 3149 0.55 7693; 13 0.57 58 64 181 57 22 32.95 3202 0.28 6805; 14 0.71 42 62 190 66 26 28.13 2657 0.73 7282; 15 0.74 42 61 194 61 24 33.06 2618 0.47 6477; 16 0.86 42 71 204 66 26 29.94 2363 0.25 7704; 17 1.29 47 73 265 114 46 25.93 2060 0.37 5719; 18 1.04 53 71 218 63 26 29.01 2099 0.29 7106; 19 0.85 53 65 218 76 30 25.63 2555 0.43 5580; 20 0.81 43 66 188 61 23 29.82 2313 0.31 5704; 21 0.59 35 47 146 46 20 32.83 2488 0.33 5628; 22 0.66 36 40 130 44 19 28.55 1974 0.48 9106; 23 0.77 43 63 194 67 23 28.81 2515 0.34 4085; 24 0.7 33 51 165 47 18 27.34 2344 0.28 7928; 25 0.84 43 48 171 65 29 27.65 2032 0.32 5581; 26 1.69 26 45 137 75 33 12.1 810 1 14199; 27 0.55 32 46 130 44 17 28.41 2341 0.3 5714; 28 0.6 28 43 129 39 17 31.93 2146 0.24 5139; 29 1.39 48 62 208 77 34 22.7 1500 0.42 5377; 30 0.64 23 32 93 37 16 28.12 1469 0.34 5415; 31 1.48 38 46 151 63 30 17.87 1024 0.38 7368; 32 ];%原始数据 33 gj=zscore(gj); %数据标准化 34 r=corrcoef(gj); %计算相关系数矩阵 35 [e,lamda]=eig(r); %求相关系数矩阵的特征值和特征向量 36 lamda=sort(sum(lamda),'descend');%将特征值降序排列 37 attribute=lamda./sum(lamda); %各特征值的贡献率 38 cum_attribute=cumsum(attribute); %累计的贡献率 39 num=4; %选取的主成分的个数 40 df=gj*e(:,10:-1:11-num) %新指标下的样本值 41 score=attribute(1:num)*df'; %计算综合得分 42 [stf,ind]=sort(score,'descend'); %把得分按照从高到低的次序排列 43 stf=stf', ind=ind'
