单源最短路——SPFA算法（Bellman-Ford算法队列优化）
spfa的算法思想（动态逼近法）：
设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。
下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：
和广搜bfs的区别：
SPFA
在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
算法描述：
1 void spfa(s); //求单源点s到其它各顶点的最短距离 2 for i=1 to n do 3 { 4 dis[i]=∞; //初始化每点到s的距离，不在队列 5 vis[i]=false; 6 } 7 dis[s]=0; //将dis[源点]设为0 8 vis[s]=true; //源点s入队列 9 head=0; 10 tail=1; 11 q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值 12 while head<tail do 13 { 14 head+1; //队首出队 15 v=q[head]; //队首结点v 16 vis[v]=false; //释放对v的标记，可以重新入队 17 for 每条边(v,i) //对于与队首v相连的每一条边 18 if (dis[i]>dis[v]+a[v][i]) //如果不满足三角形性质 19 dis[i] = dis[v] + a[v][i] //松弛dis[i] 20 if (vis[i]=false) 21 { 22 tail+1; //不在队列，则加入队列 23 q[tail]=i; 24 vis[i]=true; 25 } 26 }
代码实现：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<queue> 5 #include<vector> 6 #define inf 0x3f3f3f3f 7 using namespace std; 8 int n,m; 9 struct node 10 { 11 int to; 12 int power; 13 } t; 14 vector<node>g[110]; 15 int vis[110]; 16 int dis[110];///记录各个点到起点的距离 17 void SPFA(int s) 18 { 19 queue<int>q;///建立队列 20 int point,i,j; 21 q.push(s); 22 vis[s]=1;///加入队列并标记 23 while(!q.empty())///在队列不为空的情况下 24 { 25 26 point=q.front(); 27 q.pop(); 28 vis[point]=0;///弹出队列取消标记 29 for(i=0; i<g[point].size(); i++) 30 { 31 if(dis[g[point][i].to]>g[point][i].power+dis[point]) 32 { 33 dis[g[point][i].to]=g[point][i].power+dis[point];///松弛操作，更新路径 34 if(!vis[g[point][i].to])///若该店不在队列中 35 { 36 q.push(g[point][i].to); 37 vis[g[point][i].to]=1;///将该点压人队列并标记 38 } 39 } 40 } 41 } 42 } 43 int main() 44 { 45 int i,j,a,b,c; 46 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) 47 { 48 if(n==0||m==0) 49 { 50 break; 51 } 52 memset(vis,0,sizeof(vis)); 53 memset(dis,inf,sizeof(dis)); 54 for(i=0; i<105; i++) 55 { 56 g[i].clear();///清空队列 57 } 58 for(i=0; i<m; i++) 59 { 60 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 61 t.to=a; 62 t.power=c; 63 g[b].push_back(t); 64 t.to=b; 65 t.power=c; 66 g[a].push_back(t);///双向 67 } 68 dis[1]=0; 69 SPFA(1);///起点为1 70 printf("%d\n",dis[n]); 71 } 72 return 0; 73 }
